Floyd-Warshall算法详解
Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：
2 int i,j,k;
3 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
4 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
5 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
6 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
7 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
8 }
注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])，从而防止溢出所造成的错误。
上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。
设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边<i, j>，则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度；若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边<i, j>，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。
对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。
状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。
这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来求解。
为了进一步理解，观察上面这个有向图：若k=0, 1, 2, 3，则c[1,3,k]= +∞；c[1,3,4]= 28；若k = 5, 6, 7，则c [1,3,k] = 10；若k=8, 9, 10，则c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路径长度为9。
下面通过程序来分析这一DP过程，对应上面给出的有向图：
2 using namespace std;
3
4 const int INF = 100000 ;
5 int n = 10 ,map[ 11 ][ 11 ],dist[ 11 ][ 11 ][ 11 ];
6 void init(){
7 int i,j;
8 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
9 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
10 map[i][j] = (i == j) ? 0 :INF;
11 map[ 1 ][ 2 ] = 2 ,map[ 1 ][ 4 ] = 20 ,map[ 2 ][ 5 ] = 1 ;
12 map[ 3 ][ 1 ] = 3 ,map[ 4 ][ 3 ] = 8 ,map[ 4 ][ 6 ] = 6 ;
13 map[ 4 ][ 7 ] = 4 ,map[ 5 ][ 3 ] = 7 ,map[ 5 ][ 8 ] = 3 ;
14 map[ 6 ][ 3 ] = 1 ,map[ 7 ][ 8 ] = 1 ,map[ 8 ][ 6 ] = 2 ;
15 map[ 8 ][ 10 ] = 2 ,map[ 9 ][ 7 ] = 2 ,map[ 10 ][ 9 ] = 1 ;
16 }
17 void floyd_dp(){
18 int i,j,k;
19 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
20 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
21 dist[i][j][ 0 ] = map[i][j];
22 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
23 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
24 for (j = 1 ;j <= n;j ++ ){
25 dist[i][j][k] = dist[i][j][k - 1 ];
26 if (dist[i][k][k - 1 ] + dist[k][j][k - 1 ] < dist[i][j][k])
27 dist[i][j][k] = dist[i][k][k - 1 ] + dist[k][j][k - 1 ];
28 }
29 }
30 int main(){
31 int k,u,v;
32 init();
33 floyd_dp();
34 while (cin >> u >> v,u || v){
35 for (k = 0 ;k <= n;k ++ ){
36 if (dist[u][v][k] == INF) cout << " +∞ " << endl;
37 else cout << dist[u][v][k] << endl;
38 }
39 }
40 return 0 ;
41 }
输入 1 3
输出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径，还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程，程序中的图依然对应上面的有向图。
2 using namespace std;
3
4 const int INF = 100000 ;
5 int n = 10 ,path[ 11 ][ 11 ],dist[ 11 ][ 11 ],map[ 11 ][ 11 ];
6 void init(){
7 int i,j;
8 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
9 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
10 map[i][j] = (i == j) ? 0 :INF;
11 map[ 1 ][ 2 ] = 2 ,map[ 1 ][ 4 ] = 20 ,map[ 2 ][ 5 ] = 1 ;
12 map[ 3 ][ 1 ] = 3 ,map[ 4 ][ 3 ] = 8 ,map[ 4 ][ 6 ] = 6 ;
13 map[ 4 ][ 7 ] = 4 ,map[ 5 ][ 3 ] = 7 ,map[ 5 ][ 8 ] = 3 ;
14 map[ 6 ][ 3 ] = 1 ,map[ 7 ][ 8 ] = 1 ,map[ 8 ][ 6 ] = 2 ;
15 map[ 8 ][ 10 ] = 2 ,map[ 9 ][ 7 ] = 2 ,map[ 10 ][ 9 ] = 1 ;
16 }
17 void floyd(){
18 int i,j,k;
19 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
20 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
21 dist[i][j] = map[i][j],path[i][j] = 0 ;
22 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
23 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
24 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
25 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
26 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j],path[i][j] = k;
27 }
28 void output( int i, int j){
29 if (i == j) return ;
30 if (path[i][j] == 0 ) cout << j << ' ' ;
31 else {
32 output(i,path[i][j]);
33 output(path[i][j],j);
34 }
35 }
36 int main(){
37 int u,v;
38 init();
39 floyd();
40 while (cin >> u >> v,u || v){
41 if (dist[u][v] == INF) cout << " No path " << endl;
42 else {
43 cout << u << ' ' ;
44 output(u,v);
45 cout << endl;
46 }
47 }
48 return 0 ;
49 }
输入 1 3
输出 1 2 5 8 6 3