poj1845 sumdiv 整数唯一分解，等比数列求和或逆元

求a^b的因子和%p

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应用定理主要有三个：

要求有较强 数学思维 的题

应用定理主要有三个：

（1）   整数的唯一分解定理：

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数

（2）   约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）   同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

 

有了上面的数学基础，那么本题解法就很简单了：

1: 对A进行素因子分解

分解A的方法：

A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时 ，记录2出现的次数+1，A/=2；

当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模...

以此类推，直到A==1为止。

注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。 

最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn.
      故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

2：A^B的所有约数之和为：

     sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

3: 

方法一,用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

 

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解。

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6;
ll a,b,P=9901,p[N],pw[N],len=0;
void div(ll a) {//a分解质数因子再，*b 
	ll c=sqrt(a);
	for(int i=2;a>1&&i<=c;i++){
		if(a%i==0)p[++len]=i%P,pw[len]=1,a/=i;
		while(a%i==0)pw[len]++,a/=i;
	}
	if(a>1)p[++len]=a,pw[len]=1;
	for(int i=1;i<=len;i++)pw[i]*=b;
	
}
//快速幂
ll Pow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%P;
		a=a*a%P;
		b>>=1;
	}
	return ans;	
} 
//倍增求1+p^1+……p^k; 
ll sum(ll p,ll n){
	ll ans;
	if(n==0)return 1;
	if(n==1)return (1+p)%P;
	ll k=n>>1,tmp=Pow(p,k);
	if(n%2==0)ans=(sum(p,k-1)*(1+tmp)+tmp*tmp)%P;
	else ans=(sum(p,k)*(1+tmp*p))%P;

	return ans;
}
int main(){
	ll ans=1;
	cin>>a>>b;
	div(a);
	
	for(int i=1;i<=len;i++){
		ll tmp=sum(p[i],pw[i]);
		//cout<

:方法二,用逆元求 等比数列（1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n）（p-1）=（p^n+1 -1)：求p-1的逆元。

求逆元，快递幂和扩展欧几里得均可。注意（a，p）关系。

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6;
ll a,b,P=9901,p[N],pw[N],len=0;
void div(ll a) {//a分解质数因子再，*b 
	ll c=sqrt(a);
	for(int i=2;a>1&&i<=c;i++){
		if(a%i==0)p[++len]=i%P,pw[len]=1,a/=i;
		while(a%i==0)pw[len]++,a/=i;
	}
	if(a>1)p[++len]=a%P,pw[len]=1;
	for(int i=1;i<=len;i++)pw[i]*=b;
	
}
//快速幂
ll Pow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%P;
		a=a*a%P;
		b>>=1;
	}
	return ans;	
} 
/* 
void gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b)x=1,y=0;
	else {
		ll tx,ty;
		gcd(b,a%b,tx,ty);
		x=ty,y=tx-a/b*ty;
	}
} */ 

int main(){
	ll ans=1ll;
	cin>>a>>b;
	div(a);
	for(int i=1;i<=len;i++){
	//6*9901+1=59407 是素数，有p[i]=1的情况，特殊处理。
		if(p[i]==0)continue;//可以特殊处理，不处理也对。 
		if(p[i]==1){ans=ans*(pw[i]+1)%P;continue;}
		ll x,y;
	//	gcd(p[i]-1,P,x,y);
		x=Pow(p[i]-1,P-2) ;
		ll tmp=Pow(p[i],pw[i]+1);
		ans=(ans*(tmp-1)%P)*x%P;
	}	
	ans=(ans+P)%P;
	//cout<