金融经济学期末梳理（王江）第六章 期望效用函数

introduction

: 本书第二章介绍了一般均衡分析框架，即每个参与者优化满足预算约束（状态加总等于禀赋）、市场出清（参与者加总等于总禀赋）
事实上，在一般均衡中，我们可以对偏好、状态空间概率分布、市场结构做出假设。第三章研究对市场结构的假设，即AD市场具体应用基本框架求解一般均衡。
第四、五章离开这个框架，给出无套利原理，并且在此基础上得到资产定价基本原理（先从一般市场出发，然后过度到完全市场得出第二资产定价基本原理），最后对期权二叉树定价方法进行介绍。但是这种定价方法，不能给出股价变化过程和无风险利率是由什么决定的，也不能告诉我们证券价格之间的关系，因此需要引入CAPM进行资产定价。
本章又回到一般均衡分析框架，将AD市场条件一般化，研究完全市场即任意支付都可通过AD市场构造。同时放宽了投资者偏好的假定，引入了期望效用函数，然后又对期望效用函数进行约束。

6.1期望效用函数

6.1.1 什么是期望效用函数

投资者效用函数依赖于状态空间的概率分布以及各个状态下的偏好。那么上述两个因素是否可明确区分，一个直观的想法就是假定概率分布外生给定，计算期望效用函数即 U=${\sum }_w{\pi }_w{u}_w(c_0,c_w)$ 表示，概率分布对每个状态效用函数的加权。

6.1.2 独立性公理（状态消费）

关键词：某个状态；消费计划相同；消费计划不同；改变相同；状态互斥
不同消费计划c与c‘（可看作时间序列的一次实现），当存在相同的消费状态（1期的消费看作Ω空间上的概率分布消费，意味着两个消费计划对于某个状态消费相同），并且消费者认为c优于c’，那么不论消费路径如何变化（即改变状态消费相同的消费（改变后仍然相同）），c都优于c’.
德布鲁证明了独立性公里下的效用函数具有期望效用函数。

6.2 附加假设（状态独立、时间可加）

6.2.1 状态独立

这里的状态独立区别于独立性公理，是针对效用函数的状态依赖性质的，我们应该假定对于同一个投资者，每个状态的偏好是相同的。比如阴天消费一升水和晴天消费一升水的满足程度相同。所以期望效用函数就可以写作：
U=${\sum }_w{\pi }_w{u}_w(c_0,c_w)={\sum }_w{\pi }_{w}u(c_0,c_w)$
可以看到，我们统一了不同状态的效用函数。

6.2.2 时间可加性

旨在将0期效用函数和1期效用函数分离。对于上述的效用函数，1期消费依赖于0期消费，反之亦然。对于实物消费，香烟会上瘾，显然有时间依赖性，但是对于馒头，今天吃了，明天可能就会减少。本书所研究的财富或者资源在不同日期的使用可能是不具有依赖性的。0期消费资源，1期消费证券支付，两者都是资源，假定对投资者相关性的，所以这里将0期的偏好和1期的偏好区分开，不难想象，两者的偏好是不同的即消费者更偏好现在拥有同等的资源。所以将期望效用函数进一步分解为：U=${\sum }_w{\pi }_{w}u(c_0,c_w)=u_0(c_0)$ + ${\sum }_w{\pi }_w{u}_1(c_w)$
引入时间偏好系数ρ<1后，期望效用函数简化为
U=$u_0(c_0)$ + ${\sum }_w{\pi }_w{u}_1(c_w)$ = $u(c_0)$ + ${\sum }_w\rho {\pi }_{w}u(c_w)$
至此我们将影响参与者效应的三个因素分离：概率分布、状态独立、时间可加。
注：分解后的u不具有序数性，是一个基数效用函数，不能做单调变化，只能做线性变化。因为这里的u用来衡量总效用时取了期望，要使期望和函数可交换，应满足线性函数。

6.2.3 总结

至此，我们的效用函数具有了单调性、凹性、期望效用函数形式。书中还对简单期望效用函数的形式排除了哪些因素进行了讨论。
1、习惯，棘轮效应，1期的效用不是取决于当时的消费本身，而是取决于相对于前期消费的增加额。
2、攀比，依赖于别人的消费
3、状态依赖，不同状态效用函数不同
4、风险厌恶（一阶风险厌恶）