数学建模——层次分析法 （学习笔记）

相关知识：

1. 评价类问题：如，确定哪种方案更好，可用打分解决
2. 标题权重表格

	指标权重	方案一	方案二	……
指标1
指标2
……

方案一的分数=指标1的权重 $\ast$ 指标1+指标2的权重 $\ast$ 指标2+……

3. 题目关键字：确定评价指标，形成评价体系
4. 解决评价类问题首先想到：
   ① 评价的目标
   ② 可选的方案
   ③ 评价的准则or指标

例题：

小明计划外出旅游，初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点，请你确定评价指标、形成评价体系来为小明选择最合适的地点。
解题思路：

Step1：确定解题思路（分析系统中各因素之间的关系，建立系统的低阶层次结构）

① 目标：选择合适的旅游地点
② 方案：苏杭、北戴河和桂林
③ 准则or指标：题中未给，自行确定。选择从景色、花费、居住、饮食和交通五个方面进行评判

Step2：构造判断矩阵

1）如上图列表

	景色	花费	居住	饮食	交通
景色
花费
居住
饮食
交通

2） 确定指标的权重（一次性考虑5个指标之间的关系，难免会考虑不周，可以两两之间进行比较，推算出各个指标的权重）

标度	含义
1	同样重要
3	稍微重要
5	明显重要
7	强烈重要
9	极端重要
2,4,6,8	上述两相邻判断的中值
倒数	A与B相比如果标度为3，则B与A相比就是⅓

按照上表可以得到五个指标之间的关系如下表所示：

	景色	花费	居住	饮食	交通
景色	1	½	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	¼	1/7	1	1/2	1/3
饮食	¼	1/7	1	1/2	1/3
交通	⅓	1/5	3	1	1

3）得到判断矩阵
上表可得到一个5 * 5的方阵，记作A，对应元素为 $a_{ij}$，方阵A即为一个判断矩阵
判断矩阵的特点：
① $a_{ij}$的意义是，与指标j相比，i的重要程度
② 当i=j时，两个指标相同，因此同等重要，表中记作1
③ $a_{ij}>0$，且$a_{ij}\ast a_{ji}=1$（满足这一条件的称为正互反矩阵）

不一致现象

普通权重表格：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

出现不一致现象的表格：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	1
北戴河	1/2	1	2
桂林	1	1/2	1

解释：
判断过程中会出现一下情况
苏杭的景色比北戴河景色好一点：苏杭 > 北戴河；①
苏杭和桂林的景色同样好：苏杭 = 桂林；②
北戴河的景色比桂林景色好一些：北戴河 > 桂林 ③
以上比较中，出现了很大的逻辑错误，称为不一致现象，假设将苏杭景色对比北戴河景色的秀丽程度改成更大的数字，则不一致现象会更加严重。（根据②③可以认为，北戴河的景色比苏杭的要优美，但是根据①的比较，苏杭的景色比北戴河好一点甚至更多）
一致矩阵：满足$a_{ij}\ast a_{jk}=a_{ik}$的正互反矩阵。
$a_{ij}=i的重要程度/j的重要程度$
$a_{jk}=j的重要程度/k的重要程度$
$a_{ik}=i的重要程度/k的重要程度$
一致矩阵的特点：列与列之间成比例

Step3：一致性检验

1）计算一致性指标：$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$（n是指标的数目，例题中，n=5）
2）查找对应的平均随机一致性指标RI
3）查找对应的平均随机一致性指标$CR=\frac{CI}{CR}<0.1$ ,判断矩阵一致≥ 0.1 ,判断矩阵不一致

（若CR<0.1，则可以认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对矩阵进行修正）

Step4：计算权重（三种方法）

A. 算数平均法

1. 将判断矩阵按列归一化（每个元素除以其所在列的和）
2. 间归一化的各列相加（按行求和）
3. 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

B. 几何平均法

1. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 将新的向量的每个分量开n次方
3. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量

C. 特征值法（假设判断矩阵的一致性可以接受）
（已知：一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0；特征值为n时，对应的特征向量刚好为一致矩阵的第一列）

1. 求出矩阵的最大特征值及其对应的特征向量
2. 对求出的特征向量进行归一化即可得到权重

Step5：计算各层元素对系统目标的合成权重