二次型化标准形的五种方法

1. 配方法

用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情况：

• 情形1：如果二次型$f\left(x{}_1,x{}_2,x{}_3,\cdots ,x{}_n\right)$含某平方项，如 x₁的平方项，且 $a{}_{11}\ne 0$ ， 则合并二次型中含 x₁ 的所有交叉项，然后与 x₁² 配方，并作非退化线性变换为：

  $$\begin{gathered} y{}_1=c{}_{11}x{}_1+c{}_{12}x{}_2+\cdots +c{}_{nn}x{}_n \\ y{}_2=x{}_2 \\ ⋮ \\ y{}_n=x{}_n \end{gathered}$$

• 得 $f=d{}_{1}y{}_1{}^2+g\left(y{}_2,\cdots ,y{}_n\right)$ , 其中 $g\left(y{}_2,\cdots ,y{}_n\right)$ 是 $y{}_2,\cdots ,y{}_n$ 的二次型。对于 $g\left(y{}_2,\cdots ,y{}_n\right)$ 重复上述方法，直到化为二次型 f 为标准形为止。

例1：$f\left(x{}_1,x{}_2,x{}_3,x{}_4\right)$ = $x{}_1{}^2+4x{}_{1}x{}_2-2x{}_{1}x{}_4+3x{}_2{}^2-$$2x{}_{2}x{}_3-6x{}_{2}x{}_4+2x{}_{3}x{}_4+4x{}_4{}^2$ 用配方法将上式化为标准形，并写出所作的非退化线性变换及其矩阵。

注：此题中它的标准形为 $f=z{}_1{}^2-z{}_2{}^2+z{}_3{}^2$,它还是四元二次型，只是$z{}_4{}^2$的系数为零，所作的线性变换式(2)必须有 y₄ = z₄ 项，否则不是非退化线性变换。

• 情形2：如果二次型$f\left(x{}_1,x{}_2,x{}_3,\cdots ,x{}_n\right)$不含平方项，即 a_ij=0，但含某一个 a_ij ≠ 0（i ≠ j），则可做非退化线性变换

  x_i = y_i + y_j
  x_j = y_i - y_j , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
  x_k = y_k

• 把 f 化为一个含有平方项 y_i² 的二次型，再用情形1的方法将其化为标准形。

例2：$f(x{}_1,x{}_2,x{}_3)=x{}_{1}x{}_2+x{}_{1}x{}_3+x{}_{2}x{}_3$,用配方法将此式化为标准形，并写出所用的非退化线性变换。

2. 初等变换法

初等变换法如下：

1. 第一步写出二次型的矩阵 A，并构造 2n×n 矩阵 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{E}\right)$
2. 对 A 进行初等行变换和同样的初等列变换（不可交换两行或两列的位置），把A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等列变换（切记E并不进行初等行变换），将E化为矩阵C，此时 C’AC = D
3. 第三步写出非退化线性变换 x = Cy，化二次型为标准形 f = y’Dy

补充 ，若第一步构造 n×2n矩阵 (A E)，则第二步将A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等行变换 ，将E化为矩阵C，此时C不是我们需要的非退化矩阵！！！对矩阵C进行转置 得到 矩阵F = C’ ，此时矩阵F才是我们求的非退化矩阵！ F’AF = D

例3：用非退化线性替换化 $f(x{}_1,x{}_2,x{}_3)=x{}_1{}^2+2x{}_{1}x{}_2+$$2x{}_2{}^2+4x{}_{2}x{}_3+4x{}_3{}^2$ 为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

3. 正交变换法

主轴定理 ： 任给二次型$f=\sum _{i,j=1}^{n}a{}_{ij}x{}_{i}x{}_j\left(a{}_{ij}=a{}_{ji}\right)$,总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形 $f=\lambda {}_{1}y{}_1{}^2+\lambda {}_{2}y{}_2{}^2+\cdots +\lambda {}_{n}y{}_n{}^2$ ，其中 $\lambda {}_1,\lambda {}_2,\cdots ,\lambda {}_n$ 是矩阵 A = (a_ij) 的特征值

步骤如下：

1. 写出二次型的矩阵 A
2. 求出 A 的特征值，得$\lambda {}_1,\lambda {}_2,\cdots ,\lambda {}_n$
3. 求出对应的特征向量
4. 将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量
5. 将正交的特征向量单位化
6. 将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵 Q

例4：用正交变换化二次型为标准形，并求出所用的正交变换$f(x{}_1,x{}_2,x{}_3)=x{}_1{}^2+4x{}_2{}^2+x{}_3{}^2$$-4x{}_{1}x{}_2-8x{}_{1}x{}_3-4x{}_{2}x{}_3$

4. 偏导数法

例5：将二次型 $f(x{}_1,x{}_2,x{}_3)=-4x{}_{1}x{}_2+2x{}_{1}x{}_3+2x{}_{2}x{}_3$ 化为标准形，并写出所作的非退化线性变换。

5. 顺序主子式法

这种方法限制很大，第一：二次型的前n-1个顺序主子式可能出现0。第二：该方法不能直接算出非退化的变换矩阵。

例6：将二次型 $f(x{}_1,x{}_2,x{}_3)=x{}_1{}^2+5x{}_{1}x{}_2-4x{}_{2}x{}_3$ 化为标准形。