离散数学——集合

离散数学——集合

集合（Set）是一组不同的对象的无序聚集，对象也称为这个集合的元素

数学符号

用带或不带下标的大写英文字符表示集合，如A₁
用带或不带下标的小写英文字符表示元素，如a₁

属于关系

若a是A的元素，则称a属于A，记为a∈A
若a不是A的元素，则称a不属于A，记为a∉A

表示方法

• 枚举法

也称为花名册方法（roster method），列出集合全部元素或部分元素和省略号（···）

• 叙述法

使用集合构造器（set builder），通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示，记为P={x|P(x)}

• 文氏图

文氏图矩形表示全集（universal set）U，矩形内部用圆形或其他几何图形表示集合，用点表示集合的元素

基数

集合中不同元素个数为集合的基数（cardinal number），记为|A|，基数是非负数，若有限则集合为有限集，否则为无限集

空集

空集（empty set）指的是不含任何元素的集合且空集是唯一的，记为∅

子集

集合A是集合B的子集当且仅当A的每个元素也是B的元素，记为A⊆B，对任意集合S，∅∈S和S⊆S成立

对于任意n元集合，其m元子集个数为$C_m^n$个，其所有子集个数为2ⁿ

幂集

给定集合S，其幂集（power set）是S所有子集的集合，记为Ρ(S)，若S的基数为n，则P(S)基数为2ⁿ

特别地，s ∈ S当且仅当s ∈ P(S)

有序n元组

有序n元组是以a₁为第一元素，a₂为第二个元素，···，a_n为最后一个元素逇的聚集

特别地，有序二元组称为序偶（ordered pair），序偶(a,b),(c,d)相等当且仅当a=c且b=d

笛卡尔积

对于集合A和B，A和B的笛卡尔积（Cartesian product）用A × B，是所有序偶(a, b)的集合，其中a∈A且b∈B，于是A × B = {(a, b) | a ∈ A }

集合相等

两个集合相等当且仅当它们拥有同样的元素，若要证明集合A和B相等，需证明A⊆B且B⊆A，记为A = B

鸣谢

离散数学及其应用（原书第8版）

最后

• 由于博主水平有限，不免有疏漏之处，欢迎读者随时批评指正，以免造成不必要的误解