【随机过程】【研究生考试专用】备考笔记/知识点整理

写在开头：随机过程已经考完了，但我在复习时有喜欢整理知识点的习惯，所以把当时整理的内容分享给未来倒霉 有幸考随机过程的大家。

！！以下内容不会教你入门知识（如什么是泊松过程），而是仅仅罗列考点和一些证明！！
！！如果你的随机过程想要拿高分，我的笔记内容是要全部掌握的（因为都是基础qvq）！！
！！不同学校的考察内容可能有不同的侧重，仅供大家参考！！

再碎碎念：我们学习的随机过程包含五个章节：基础知识、布朗运动、泊松过程、平稳过程和马尔可夫链。由于我是复习到泊松过程才打算整理知识点的，所以【基础知识】和【布朗运动】两个章节内容笔记中并未涉及。

但是为了考虑大家浏览的感受，这里简单总结一下前两章内容/重点/必须要掌握的：

【第一章 基础知识】

1.1

介绍了随机过程（随机过程就是一族随机变量：离散参数随机过程也称为随机（时间）序列。）
当t固定，可以得到状态空间；当w固定，可以得到样本函数/样本轨道，其图形称为样本曲线。

1.2

依据随机过程增量满足的性质，随机过程可分为正交增量过程、独立增量过程和平稳的独立增量过程（包括泊松过程、复合泊松过程、布朗运动）。
依据样本轨道连续与否，随机过程可分为连续轨道随机过程（布朗运动）和跳跃轨道随机过程。（泊松和复合泊松过程轨道不连续）
以及从一维正态分布推广到n维正太分布，和多维正太分布的性质：

1.3

分布函数与特征函数。（分布函数如何计算？特征函数如何计算？性质是什么？（如和的特征函数等于特征函数的积））

1.4

数字特征：均值函数、方差函数、协方差函数、相关函数和均方值函数。以及他们之间的关系。
二维随机过程的互相关函数和互协方差函数。（这里要注意两个过程独立和两个过程不相关是不同的）
复随机过程的均值函数、方差函数、协方差函数、相关函数和均方值函数。
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【第二章 布朗运动】

1.1

标准布朗运动是什么？有限维特征函数如何计算（用Yk = Wtk - Wtk-1去构造）？n维分布函数如何计算？
标准布朗运动是一个正态过程（如何证明？）
它的性质（对称性、自相似性、时间逆转性）

1.2

这一节介绍了各种各样与布朗运动相关的随机过程。需要重点掌握的是

和0到0的布朗桥、从a到b的布朗桥以及几何布朗运动。

其中每个都要会求均值和方差，且前三个要会证其为正态过程。
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【第三章 泊松过程】

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【第四章 平稳过程】

【我的平稳过程笔记没有涉及谱分解内容，见谅！】

【第五章 马尔可夫链】

【后面“互通”、“状态空间分解”、判断是否为“极限分布”和“平稳分布”等内容笔记上没有再记录了，大家多做题就可以熟练掌握这部分内容】

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字丑~大家凑合看看，也许会有笔误的地方，但影响应该不大。
如果上面内容你全部掌握了，那考前就看看我写的这两页内容吧，基本是做题时需要注意的地方：

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祝各位可以取得好成绩！