求解最短路问题的几种方法总结

1、spfa求单源最短路，链式前向星存图， 时间复杂度o(kE) k是常数，大多数情况下为2。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = (int) 1e5 + 11; // 最大点数
const int M = (int) 1e6 + 11; // 最大边数
const int INF = (int) 0x3f3f3f3f;

struct Edge{ // 边的定义
	int to, val, next;
	Edge(){}
	Edge(int _to, int _val, int _next){
		to = _to; val = _val; next = _next;
	}
}edge[M << 1]; // !!如果是双向图的话，边的数量是题目中描述的二倍

int n, m; // n 是图中的点数，m是图中的边数
int head[N], top;
void init(int n){ // 初始化
	memset(head, -1, sizeof(int) * (n + 1));
	top = 0;
}
void Add(int u, int v, int val){ // 加单向边
	edge[top] = Edge(v, val, head[u]);
	head[u] = top++;
}
void getmap(int m){ // 建图
	int u, v, val;
	while(m--){
		scanf("%d%d%d",&u , &v, &val); // u->v有边
		Add(u, v, val);  
		Add(v, u, val); // 如果是双向图，加上这个代码
	}
}

bool vis[N]; int dis[N]; 
void spfa(int st, int ed){ // 核心代码,点序号从0-(n-1)或者1-n都可以
	memset(dis, 0x3f, sizeof(int) * (n + 1));
	memset(vis, false, sizeof(bool) * (n + 1)); // 清空和初始化
	queueque; 
	que.push(st); 
	vis[st] = true; dis[st] = 0;
	while(!que.empty()){
		int u = que.front(); 
		que.pop(); 
		vis[u] = false;
		for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next){
			Edge e = edge[i];
			if(dis[e.to] > dis[u] + e.val) {//是否可以进行松弛
				dis[e.to] = dis[u] + e.val;
				if(!vis[e.to]){ // 是否在队列中，如果在可以跳过
					que.push(e.to);
					vis[e.to] = true;
				}
			}

		}
	} 
	printf("%d\n", dis[ed] == INF ? -1 : dis[ed]); // st到不了ed输出-1
}

int main(){
	int t; scanf("%d%d", &t, &n);
	init(n);
	getmap(t);
	spfa(n, 1);
	return 0;
}

 

2、 djk求单源最短路，邻接矩阵存图， 时间复杂度o(n^2)。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = (int) 1000 + 11; // 最大点数
const int INF = (int) 0x3f3f3f3f;

int n, m; // n是点的个数，m是边的个数
int mp[N][N]; 
void init(int n){// 初始化
	for(int i = 0; i < n; i++){
		for(int j = 0; j < n; j++){
			if(i == j) mp[i][j] = 0;
			else mp[i][j] = mp[j][i] = INF; 
		}
	}
}
void getmap(int m){ // 建图
	int u, v, val;
	while(m--){
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &val);
		u--; v--;
		mp[u][v] = mp[v][u] = min(mp[u][v], val); // 如果是双向图写这句  防止输入重边 
		// mp[u][v] = min(mp[u][v], val); // 如果是单向图写这句
	}
}
bool vis[N]; int dis[N];
void djk(int st, int ed){ // 核心代码,点的序号是从0-(n-1)
	for(int i = 0; i < n; i++){
		vis[i] = false;
		dis[i] = mp[st][i];
	} 
	vis[st] = true;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int mn = INF, id = -1;  // 找到离起点最近的未访问过得点
		for(int j = 0; j < n; j++){
			if(!vis[j] && dis[j] < mn) {
				mn = dis[j]; id = j;
			}
		}
		if(id == -1) break;
		vis[id] = true; // 标记
		for(int j = 0; j < n; j++){
			if(!vis[j] && mp[id][j] != INF) { // 如果未访问且 id->j有边  
				if(dis[j] > dis[id] + mp[id][j])  // 是否可以松弛
					dis[j] = dis[id] + mp[id][j];
			}
		}
	}
	printf("%d\n", (dis[ed] == INF) ? -1 : dis[ed]);
}
int main(){
	int t; 
	scanf("%d%d", &t, &n);
	init(n);
	getmap(t);
	djk(n-1, 0);
	return 0;
}

 

3、 优先队列优化的djk求单源最短路，链式前向星存图 ，时间复杂度o(E * log(V))。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef pairpii;
const int N = (int) 1e5 + 11; // 最大点数
const int M = (int) 1e6 + 11;
const int INF = (int) 0x3f3f3f3f;

struct Edge{ // 边的定义
	int to, val, next;
	Edge(){}
	Edge(int _to, int _val, int _next){
		to = _to; val = _val; next = _next;
	}
}edge[M << 1]; // !!如果是双向图的话，边的数量是题目中描述的二倍

int n, m;   // n 是图中的点数，m是图中的边数
int head[N], top;
void init(int n){ // 初始化
	memset(head, -1, sizeof(int) * (n + 1));
	top = 0;
}
void Add(int u, int v, int val){     // 加单向边
	edge[top] = Edge(v, val, head[u]);
	head[u] = top++;
}
void getmap(int m){ // 建图
	int u, v, val;
	while(m--){
		scanf("%d %d %d",&u , &v, &val); // u->v有边
		Add(u, v, val);  
		Add(v, u, val); // 如果是双向图，加上这个代码
	}
}
int dis[N];
void djk(int st, int ed){ // 核心代码，点的序号可以从0-(n-1)或者1-n
	memset(dis, 0x3f, sizeof(int) * (n + 1));
	priority_queue, greater > que; 
	dis[st] = 0; 
	que.push(make_pair(0, st));  // make_pair(dis, v) 表示v到起点的距离为dis
	while(!que.empty()){
		pii p = que.top(); que.pop(); // 每次取离起点最近的
		int v = p.second;
		if(dis[v] < p.first) continue; // 如果 没有更优，跳过
		for(int i = head[v]; ~i; i = edge[i].next){
			Edge e = edge[i];
			if(dis[e.to] > dis[v] + e.val) { // 是否可以进行松弛
				dis[e.to] = dis[v] + e.val;
				que.push(make_pair(dis[e.to], e.to));
			}
		}
	}
	printf("%d\n", dis[ed] == INF ? -1 : dis[ed]);
}
int main(){
	int t; 
	scanf("%d%d", &t, &n);
	init(n);
	getmap(t);
	djk(n, 1);
	return 0;
}

4、floyd求多源最短路，邻接矩阵存图 时间复杂度o(n^3)，可求得任意两个点之间的最短距离。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = (int) 1000 + 11;
const int INF = (int) 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int mp[N][N];
void init(int n){ // 初始化
	for(int i = 0; i < n; i++){
		for(int j = 0; j < n; j++){
			if(i == j) mp[i][j] = 0;
			else mp[i][j] = mp[j][i] = INF;
		}
	}
}
void getmap(int m){ // 建图
	int u, v, val;
	while(m--){
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &val); u--; v--;
		mp[u][v] = mp[v][u] = min(mp[u][v], val); // 双向图写这行
		//mp[u][v] = min(mp[u][v], val); // 单向图写这行
	}
}
void floyd(int n){ // 核心代码，点的序号为0-n-1
	for(int k = 0; k < n; k++){ 
		for(int i = 0; i < n; i++){
			for(int j = 0; j < n; j++){
				mp[i][j] = min(mp[i][j], mp[i][k] + mp[k][j]); // dp
			}
		}
	}
}

int main(){
	int t; scanf("%d%d", &t, &n);
	init(n);
	getmap(t);
	floyd(n);
	printf("%d\n", mp[n - 1][0] == INF ? -1 : mp[n - 1][0]);
	return 0;
}