泛函分析之集合的映射和可数集与不可数集
文章目录
- 一、集合的映射
- 二、可数集与不可数集
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- 2.1集合的基数
- 2.2可数集与不可数集
- 2.3确界存在原理
一、集合的映射
高等数学中学过的函数关系 y = f(x) 是从实数集 R (或其子集)到 R 中的一种对应关系， 这个概念可以推广到一般集合上。
定义1.1：设A, B是两个非空集合，若存在一个对应关系 f 使得对∀x ∈ A，存在唯一的一个y ∈ B 与之对应，则f称为 A 到 B 的映射，记为 f : A → B 。y 称为 x 在映射 f 下的像， 记为 y = f(x) 或 y = fx 。A 称为映射 f 的定义域，记为 D(f) ，像的集合 f(A) ={f(x)∀x ∈ A}称为 f 的值域，记为 R(f) 。
映射 f : A → B ,当 B 为数集时， f 通常称为泛函；当 A, B 皆为数集时，
f 称为函数。
有了上面的基本定义，下面我们来讨论单射、满射、双射。
单射：
定义1.2：对 ∀x1, x2 ∈ A，若 x1 , x2 ，恒有 f(x1) , f(x2) ，即对 ∀y ∈ R(f) ，存在唯一的一个 x ∈ A 使得 f(x) = y，则 f 称为单射。
满射：
定义1.3：设映射 f : A → B, 若 R(f) = B，则 f 称为满射。也即B中每一个元素都有A中元素与之对应。
双射：
既满足单射也满足双射
二、可数集与不可数集
2.1集合的基数
我们对于有限可数集合中元素的计算有很好的概念，但是对于无限集合呢？下面我将引入无限集合中元素的多少及分类方法。
定义2.1.1：设 A, B 是两个集合，若存在一个双射 f : A → B ，则称 A 与 B 是对等的，记为 A ∼ B 。若 A 与 B 是对等的， 则称 A 与 B 有相同的 基数。
对于有限集 A, B 而言，A ∼ B 等价于它们元素的个数是相同的。如 {1, 2, 3} 与 {1, 3, 5} 是对等的。 对于无限集，对等的概念为集合的分类提供了一种有效的方法。
2.2可数集与不可数集
对于无限集，可分为两大类，可数集与不可数集。
定义2.2.1：设 A 是一个非空集，如果 A 与自然数集 N 对等, 则集合 A 称为可数集或可列集。
也就是说，集合A中的元素和自然数集中的元素对等，比如{4，5，6，······}与自然数集{1，2，3，4，······}对等，则{4，5，6，······}是可数集。有限集和可数集统称为至多可数集。
若集合不是至多可数集则就是不可数集。也可以说，与实数R或者（0，1）存在对等，则是不可数集合。
通俗来讲，就是可数集可以一个一个按着顺序的数出来，而不可数集不能一个一个数出来。比如（0，1）区间内可以说有无数个元素，并不能一个一个数出来。
2.3确界存在原理
定义2.3.1：设 E ⊂ R 是一个非空集，
如果存在一个实数 b ∈ R ， 使得对 ∀x ∈ E 皆有 x ≤ b ， 则称 b 为 E 的一个上界；集 E 称为上有界集。
如果存在一个实数 a ∈ R ， 使得对 ∀x ∈ E 皆有 x ≥ a ，则称 a 为 E 的一个下界；集 E 称为下有界集。
很显然，若 E 有一个上(下)界，则必有无数个上(下)界。 那么对 E 而言，是否存在最小上界和最大下界？下面对于一般实数集的最小上界和最大下界给出一个确切定义。
定义2.3.2：
设 E 是一个上有界集，若存在一个数 µ ∈ R 满足下列两个条件：
·对 ∀x ∈ E ，皆有 x ≤ µ ；
·对 ∀ε > 0 , 都有一个 x0 ∈ E ，使得 x0 > µ − ε 。
（这两句话的意思是：上确界减去一个极小的数ε后，就不是上确界了。因为他不再大于x0，下确界同理）
则称 µ 为 E 的上确界， 记为 µ = sup E ，或 µ = sup {x|x ∈ E}。
设 E 是一个下有界集，若存在一个数 γ ∈ R 满足下列两个条件：
·对 ∀x ∈ E ，皆有 x ≥ γ ；
·对 ∀ε > 0 , 都有一个 x0 ∈ E ，使得 x0 < γ + ε 。
则称 γ 为 E 的下确界， 记为 γ = inf E ，或 γ = inf {x|x ∈ E}。
下面引出确界存在原理：
(确界存在原理) 任何非空有上界的实数集必有上确界；任何非空有下界的
实数集必有下确界。
确界存在原理有什么用呢？
高等数学中的定理：单调有界数列必有极限。就是用确界存在原理证明的。下面给出证明：
证明 我们不妨假定数列是单调增加，且上有界。
设 {xn; n ∈ N} 是单调有上界数列，x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · < M.
由确界存在原理， {xn; n ∈ N} 必有上确界 sup {xn, n ∈ N} ，记为 µ 。
于是对 ∀ε > 0 ，由上确界定义知，存在至少一个 xN ∈ {xn; n ∈ N} , 使得：
µ − ε < xN ≤ µ
由于 {xn} 是单调增加的，故当 n > N 时，
有µ − ε < xN ≤ xn ≤ µ < µ + ε
即 |xn − µ| < ε ，依极限的定义有 limn→∞xn = µ 。