[数论] 逆元(附扩欧证明)

定义

设a在模M的情况下逆元为b,那么a,b满足a*b%M=1。

a在模M意义下的存在的充要条件为gcd(a,M)=1,逆元主要用来解决数论中出发取模的问题,例如用inv(a)表示a在模M下的逆元,(a/b)%M=(a*inv(b))%M。

扩展欧几里得算法求逆元

扩展欧几里得算法主要用来求解

a ∗ x + b ∗ y = g c d ( a , b ) a*x+b*y=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)

我们可以发现当gcd(a,b)=1时,x刚好是a在模b下的逆元

假设我们要处理 a ∗ x + b ∗ y = 1 a*x+b*y=1 ax+by=1的解,如果我们求出了b*x1+(a%b)*y1=1的解,那么 ( x , y ) (x,y) (x,y) ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)是否有关系呢?

b ∗ x 1 + a b * x1 + a bx1+a% b ∗ y 1 = 1 b * y1=1 by1=1

化成

b ∗ x 1 + ( a − ( a / b ) ∗ b ∗ y 1 ) = 1 b*x1+(a-(a/b)*b*y1)=1 bx1+(a(a/b)by1)=1

整理得

a ∗ y 1 + b ∗ ( x 1 − a / b ∗ y 1 ) = 1 a*y1+b*(x1-a/b*y1)=1 ay1+b(x1a/by1)=1

( x = y 1 , y = x 1 − a / b ∗ y 1 ) (x=y1,y=x1-a/b*y1) (x=y1,y=x1a/by1)

这样我们就可以通过递归来求出逆元了,终止条件为b=0时,x=1,y=0。

#include
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=9973;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
     
	if(b==0)
	{
     
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	LL t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return ans;
}
LL inv(LL a,LL m)//a在模m下的逆元 
{
     
	LL ans,gcd,x,y;
	gcd=exgcd(a,m,x,y);
	if(gcd!=1) return -1;
	m=abs(m);
	ans=x%m;
	if(ans<=0) ans+=m;//防止ans为负数 
	return ans; 
} 
int main()
{
     
	LL T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
     
		LL a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<(a%mod*inv(b,mod))%mod<<endl;
	} 
	return 0;
}

你可能感兴趣的:(数论)