灰色关联分析(GRA)详细解读与案例分析

灰色关联分析

  灰色关联分析的基本思想 是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之则越小。

  此方法可用于 进行系统分析，也可应用于对问题 进行综合评价。

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一、概述

  一般的抽象系统，如社会系统、经济系统、农业系统、生态系统、教育系统等都包含有许多种因素,多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。人们常常希望知道在众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小；哪些因素对系统发展起推动作用需强化发展，哪些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制；这些都是系统分析中人们普遍关心的问题。例如，粮食生产系统,人们希望提高粮食总产量，而影响粮食总产量的因素是多方面的，有播种面积以及水利、化肥、土壤、种子、劳力、气候、耕作技术和政策环境等。为了实现少投人多产出，并取得良好的经济效益、社会效益和生态效益，就必须进行系统分析。

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二、模型实现

灰色关联分析步骤实现大致分为以下几个步骤：

1. 指标正向化
2. 确定分析数列
3. 对变量进行预处理
4. 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
5. 计算灰色关联度，并得出结论

在实际建模中，以上步骤不是特别固定，要根据实际的问题进行分析，下面拿两道例题进行说明。

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1. 应用一：进行系统分析

  下表为某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从 2000 年到 2005 年之间，哪一种产业对 GDP 总量影响最大。

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第一步：指标正向化

 所谓正向化处理，就是将极小型、中间型以及区间型指标统一转化为极大型指标。具体的正向化方法请查看：TOPSIS法（优劣解距离法）

 最终得到正向化处理的矩阵为X：
$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1m}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{nm}\end{array}\right]$$

因为指标变量 国内产值、第一产业、第二产业、第三产业 都是为正向化指标，因此无需正向化。

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第二步：确定分析数列

1. 母序列（又称参考数列，母指标）：能反映系统应为特征的数据序列，其类似于因变量 $Y$，此处记为 $x_0$。
2. 子序列（又称比较数列，子指标）：影响系统行为的因素组成的数据序列，其类似于自变量 $X$，此处级位$（x_1,x_2,\cdots ,x_m）$

在本例中，国内总产值就是母序列，第一、第二和第三产业就是子序列。

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第三步：对变量进行预处理

对变量进行预处理的目的：1. 去除量纲的影响 2. 缩小变量范围简化计算

  对母序列和子序列中的每个指标进行预处理，先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素都除以其均值。

设标准化矩阵为 $Z$，$Z$ 中元素记为 $z_{ij}$：
$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{{\bar{x}}_{ij}}$$
得到标准化矩阵 Z：
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]$$

本例中，得到的最终标准化矩阵矩阵为：

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第四步：计算子序列中各个指标与母序列的关联系数

定义灰色系数，即各指标的关联系数为：
$$y(x_0(k),x_i(k))=\frac{a+\rho b}{\mid x_0(k)+x_i(k)\mid +\rho b}(i=1,2,\cdots ,m,k=1,2,\cdots ,n)$$

其中a 为两极最小差，b 为两极最大差，ρ 为分辨系数（一般取值0.5）

$$\begin{gathered} a=\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }\mid x_0(k)-x_i(k)\mid \\ b=\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }\mid x_0(k)-x_i(k)\mid \end{gathered}$$

那么根据以上步骤首先得出中间的差值矩阵：

根据以上矩阵得出 两级最小差 $a$ = 0.0006，两级最大差 $b$ = 0.1862。

最后根据关联系数公式，最终计算得出关联系数矩阵：

举例说明：$$0.4751=\frac{(a+\rho b)}{(|x_0(1)-x_1(1)|+\rho b)}=\frac{(0.0006+0.5\times 0.1862)}{(0.1041+0.5\times 0.1862)}$$

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第五步：计算灰色关联度，并得出结论

定义 $y(x_0,x_i)$ 为灰色关联度，即将关联系数矩阵每列求均值。

$$y(x_0,x_i)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}y(x_0(k),x_i(k))$$

那么我们得出： $y(x_0,x_1)=0.5084，y(x_0,x_2)=0.6243，y(x_0,x_3)=0.7573。$

最终我们得出该地区在2000年至2005年间的国内总产值受第三产业影响最大。

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2. 应用二：进行综合评价问题

综合评价问题的步骤大致分为以下几步：

1. 对指标进行正向化
2. 对正向化矩阵进行预处理
3. 将预处理后的具有真每一行取出最大值构成母序列
4. 计算各个指标与母序列的灰色关联度
5. 计算各个指标的权重
6. 计算每个评价对象的得分

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  上面步骤加红的部分，值得注意，当指标间没什么关系的时候，选择每行中最大的构成母序列。

  前四步，与上文的应用一对应，接下来求得指标的权重是将求得的灰色关联度进行归一化。然后计算每个评价对象的得分。上文我们通过标准化处理得到标准化矩阵 Z：
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]$$

最后计算每个评价对象的得分：
$$S_k=\sum _{i=1}^m{Z}_{ki}{\omega }_i,k=1,2,\cdots ,n$$

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三、模型扩展（★）

1. 选择用标准化回归或者灰色关联分析的具体时机：
   当样本个数 n 较大时，一般使用标准化回归。当样本个数较少时，选择使用灰色关联分析。
2. 如果母序列中含有多个指标应如何分析？
   例如：Y1 和 Y2 是母序列，X1,X2,…,Xm 是子序列。那么应首先计算 Y1 和 X1,X2,…,Xm 的灰色关联度进行分析，然后再计算 Y2 和 X1,X2,…,Xm 的灰色关联度进行分析。
3. 灰色关联分析与熵权法都可进行客观的赋权，主要区别在于熵权法是根据数据的变异程度进行赋权，而灰色关联分析是根据序列几何形状的相似程度来进行赋权。这里推荐用熵权法，如果要用灰色关联分析，那么就需要有相应的统计图，这样更具说服力。
4. 灰色数学的相关概念是国人提出来的，美赛不建议用！

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本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言哦~