牛顿迭代法求平方根

牛顿迭代法的作用是使用迭代法来求解函数方程的根，简单的说就是不断地求取切线的过程．对于形如f(x)=0的方程，首先任意的估算一个解x0，再把该估计值代入原方程中．由于一般不会正好选择到正确的解，所以有f(x0)=a.这时计算函数在x0处的斜率，和这条斜率与ｘ轴的交点x1. f(x)=0中精确解的意义是，当取得解的时候，函数值为零(即f(x)的精确解是函数的零点)．因此，x1比x0更加的接近精确地解．只要以此方法不分段的更新ｘ，就可以取得无线接近的精确地解．但是也有可能会遇到牛顿迭代法无法收敛的情况．比如函数有多个零点，或者是函数不连续的时候．

设x的ｍ次方根为a

const float EPS = 0.00001;   
double sqrt(double x) {   
    if(x == 0) return 0;   
    double result = x; /*Use double to avoid possible overflow*/   
    double lastValue;   
    do{   
        lastValue = result;   
        result = result / 2.0f + x / 2.0f / result;   
    }while(abs(result - lastValue) > EPS);  
 return (double)result;  
 } 

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更快的方法
在游戏雷神之锤III中有一段求平方根的代码如下：

float Q_rsqrt( float number ) {   
    long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F;  
    x2 = number * 0.5F;   
    y = number;   
    i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking   
    i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?   
    y = * ( float * ) &i;   
    y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration   
    // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed此处迭代次数越多，精度越高．  
    #ifndef Q3_VM #  
    ifdef __linux__ assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?  
    #endif  
    #endif 
return y;   
}

这段代码的作用就是求数number的平方根，并返回它的倒数．经过测试，它的效率比牛顿法要快几十倍，也比C++标准的sqrt()函数要快好几倍．