初等数论中的欧拉公式

　　求小于n的数里，与n互为素数的个数

一.

　　奇数和偶数是否一定互素（排除1，不是比如6和9）；1和不和任意数互素(比如6采用欧拉定理验证下)。

　　若n已经进行唯一分解，直接欧拉公式。

　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。

二.不知唯一分解

　　

 1 #include<iostream>

 2 #include<stdio.h>

 3 using namespace std;

 4 

 5 int main()

 6 {

 7     int n,i;

 8     double sum;

 9     while(scanf("%d",&n)&&n)

10     {

11         sum=n;

12         //还是运用了欧拉公式 

13         if(n%2==0)//2也是素数 

14         {

15             sum*=(double)(1 - 1.0/2);//为了突出关系写成了 (1 - 1.0/2) ,里面一定是1.0 

16             while(n%2==0)

17                 n/=2;

18         }

19     

20         /*类似筛法的思想，已经去掉了2及其倍数，下面找奇因子，必须从小到大枚举，

21         3枚举到的话立马除尽3及其倍数防止再次枚举9（这样就不对了） 

22         */ 

23         for(i=3;n>1;i+=2)

24         {

25             if(n%i==0)

26                 sum*=(1-(double)1/i);

27             while(n%i==0)

28                 n/=i;

29         }

30         printf("%d\n",(int)sum);

31     }

32     //while(1); 

33     return 0;

34 }