组合数学（四）生成排列和组合

全排列的生成

利用LeetCode46题全排列来验证一下是否正确

序数法

这个方法把n!个排列与0_{n!-1之间的数一一对应起来，这样，我们就可以按照0}n!-1的次序，逐一生成相关的排列。这个对应的关键在于0~n!-1之间的数m，可以用如下的方式表示： m=an−1⋅(n−1)!+an−2⋅(n−2)!+…+a1⋅1!,其中0≤ai≤i0≤ai≤i，

故m对应序列(an−1,an−2,…a1)，现在再把这个序列和排列一一对应起来，n-1位的序列对应n位的排列。

aiai 表示排列p中的数i+1所在位置的右边比它小的数的个数。比如对于排列p=4213，4,3,2的逆序数分别为3，0，1，由此对应为(a2,a1,a0)(a2,a1,a0)，反过来呢，如果知道了逆序数(a2,a1,a0)==(3,0,1),也可以一一恢复出排列来。比4小的有3个，4只能放最左边，比3小的为0个，3只能放最右边，比2小的一个，2放第二个位置，剩下的放1，故为4213。

N	a3a2a1	p1p2p3p4	N	a3a2a1	p1p2p3p4
0	000	1234	12	200	1423
1	001	2134	13	201	2413
2	010	1324	14	210	1432
3	011	2314	15	211	2431
4	020	3124	16	220	3412
5	021	3214	17	221	3421
6	100	1243	18	300	4123
7	101	2143	19	301	4213
8	110	1342	20	310	4132
9	111	2341	21	311	4231
10	120	3142	22	320	4312
11	121	3241	23	321	4321

class Solution {
public:
    int setPosition(vector& permutation, int count, int num, int flag, int zeroposition){
        int zeros = 0;
        if(flag == 1){
        for(int i = permutation.size()-1;i>=0;i--){
            if(permutation[i]==0&&i!=zeroposition) zeros++;
            if(zeros == count +1){
                permutation[i] = num;
                if(num == 0) return i;
                else return -1;
            }
        }
        }
        for(int i = permutation.size()-1;i>=0;i--){
            if(permutation[i]==0) zeros++;
            if(zeros == count +1){
                permutation[i] = num;
                if(num == 0) return i;
                else return -1;
            }
        }
        return -1;
    }
    vector> permute(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        vector> ans;
        if(n<=0) return ans;
        vector facorials(n+1);
        facorials[0] = 1;
        for(int i = 1;i<=n;i++) facorials[i] = i * facorials[i-1];
        sort(nums.begin(),nums.end());
        int position, wuyong;
        for(int m = 0;m permutation(n);
            int flag = 0;
            for(int i = n-1;i>=0;i--){ 
                int count = remainder / facorials[i];
                remainder = remainder % facorials[i];
                if(nums[i] == 0){ // 判断是否是0的原因是如果不判断会把放好的0当做没放东西，所以要根据是否放了0来做出一点小小的改变
                    flag = 1;
                    position = setPosition(permutation, count, nums[i], 0, -1);
                    continue;
                }
                if(flag == 1) wuyong = setPosition(permutation, count, nums[i], flag, position);
                else wuyong = setPosition(permutation, count, nums[i], 0, -1);

            }
            ans.push_back(permutation);
        }
        return ans;
    }
};

字典序法

字典序生成法在当前已经生成的排列上寻找下一个字典序的排列：

1. 找到最长的递减序列后缀，记这个序列的前一个元素为i，如果找不到i，则证明已经生成了最后一个完全倒序的排列，生成完毕。
2. 在前述后缀中，找到比元素i大的最小元素j，并交换i和j；
3. 将后缀逆序排列。
4. 重复1到3。

比如排列123654，首先找到后缀654，在找到中间最小大于3的4，交换得到124653，然后将后缀逆序得到124356,又如排列123645，找到后缀5，交换得到123654，后缀只有一个，逆序后不变仍为123654。

class Solution {
public:
    int jieche(int n){
        if(n==1) return 1;
        return n*jieche(n-1);
    }
    vector> permute(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        vector> ans;
        if(n<=0) return ans;
        sort(nums.begin(),nums.end());
        ans.push_back(nums);
        int cishu = jieche(n);
        for(int p = 1;p<=cishu;p++){
            int x = ans.size();
            vector last = ans[x-1];
            int i = n - 1;
            while(i > 0){
                if(last[i] > last[i-1]) break;
                i--;
            }
            if(i==0) break;

            int j = n - 1;
            while(j>=i){
                if(last[j]>last[i-1]) break;
                j--;
            }
            swap(last[i-1],last[j]);
            int k = n-1;
            while(i

利用LeetCode测试[1,2,3,4]结果如下

[[1,2,3,4],[1,2,4,3],[1,3,2,4],[1,3,4,2],[1,4,2,3],[1,4,3,2],[2,1,3,4],[2,1,4,3],[2,3,1,4],[2,3,4,1],[2,4,1,3],[2,4,3,1],[3,1,2,4],[3,1,4,2],[3,2,1,4],[3,2,4,1],[3,4,1,2],[3,4,2,1],[4,1,2,3],[4,1,3,2],[4,2,1,3],[4,2,3,1],[4,3,1,2],[4,3,2,1]]

[[1,2,3,4],[1,2,4,3],[1,3,2,4],[1,3,4,2],[1,4,3,2],[1,4,2,3],[2,1,3,4],[2,1,4,3],[2,3,1,4],[2,3,4,1],[2,4,3,1],[2,4,1,3],[3,2,1,4],[3,2,4,1],[3,1,2,4],[3,1,4,2],[3,4,1,2],[3,4,2,1],[4,2,3,1],[4,2,1,3],[4,3,2,1],[4,3,1,2],[4,1,3,2],[4,1,2,3]]

可见结果正确

回溯法

这个方法比较简单，LeetCode上写的也比较多了，我就直接放一下代码就好了

class Solution {
    void backtrack(vector>& ans, vector& output, int begin, int length){
        if(begin == length){
            ans.emplace_back(output);
            return;
        }
        for(int i = begin; i < length; i++){
            swap(output[i],output[begin]);
            backtrack(ans, output, begin+1, length);
            swap(output[i],output[begin]);
        }

    }
public:
    vector> permute(vector& nums) {
        vector> ans;
        backtrack(ans, nums, 0, nums.size());
        return ans;
    }
};

插入法

JohnsonTrott算法（换位法）

p.s. 还挖了两个坑到时候填hhh