[PyTroch系列-12]：PyTorch基础 - 张量线性运算（点乘、叉乘）

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目录

 第1章 Tensor运算概述

1.1 概述

1.3  “in place“运算 

1.4 Tensor的广播机制: 不同维度的张量运算

1.5 环境准备

1.6 张量的线性代数运算

第2章 向量的点乘(是基础)：dot()

2.1 定义

2.2 向量内积的几何意义

2.3 代码示例

第3章 向量的叉乘

3.1 定义

3.2 几何意义

3.3 代码示例

第4章  矩阵的内积运算(对应)：inner()

4.1 矩阵内积的定义

4.2 代码示例

第5章 矩阵的外积运算: matmul()

5.1 矩阵外积（矩阵乘积）的定义 （矩阵相乘）

5.2代码示例

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 第1章 Tensor运算概述

1.1 概述

PyTorch提供了大量的张量运算，基本上可以对标Numpy多维数组的运算，以支持对张量的各种复杂的运算。

这些操作运算中大多是对数组中每个元素执行相同的函数运算，并获得每个元素函数运算的结果序列，这些序列生成一个新的同维度的数组。

https://www.runoob.com/numpy/numpy-linear-algebra.html

1.2 运算分类

（1）算术运算：加、减、系数乘、系数除

（2）函数运算：sin，cos

（3）取整运算：上取整、下取整

（4）统计运算：最大值、最小值、均值

（5）比较运算：大于，等于，小于、排序

（6）线性代数运算：矩阵、点乘、叉乘

1.3  “in place“运算 

“in place“运算不是某个特定的函数运算，而是每个函数都有自己的“in place“运算的版本。

xxx_()：执行完该操作，直接修改tensor自身的值。

基本上，每个函数都有自己的in place版本。

如

torch.cos() =》torch.cos_()

torch.floor() =》torch.floor_()

1.4 Tensor的广播机制: 不同维度的张量运算

1.5 环境准备

import numpy as np
import torch
 
print("Hello World")
print(torch.__version__)
print(torch.cuda.is_available())

1.6 张量的线性代数运算

（1）点乘：dot(a,b）

（2）内积: inner(a,b)

（3）叉乘：matmul(a,b)

备注：

点乘与内积的异同：

• 相同点：点乘与内积的基本操作相同：每个元素相乘后再相加。
• 不同点：点乘只支持两个一维张量点乘，而内积支持多维张量的内积

点乘与叉乘：

• 相同点：点乘是基础，即对应元素相乘后相加。
• 不同点：点乘只支持两个一维张量点乘，而叉乘支持多维张量，每一个维度上的数据都是一次点乘。

第2章 向量的点乘(是基础)：dot()

2.1 定义

概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。

对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

 

注意：

•  这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。
• 点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

2.2 向量内积的几何意义

（1）可用于计算计算两个向量之间的夹角.

   θ=arccos⁡(a∙b/|a||b|)

（2）b向量在a向量方向上的投影与a相乘

 |a| = 所有元素的平方和开根号，实际上就是向量a的长度。

 |b| = 所有元素的平方和开根号，实际上就是向量b的长度。

a.b = a1*b1 + a2*b2 ..... an*bn

（3）是否正交指示：

如果点乘的结果为0，则表示a在b上的投影为0，表示a和b是正交的。

如果正交，表示这两个向量不相干。

2.3 代码示例

#向量的点乘（点积）运算
a = torch.Tensor([1,2,3])
b = torch.Tensor([1,1,1])
print(a)
print(b)

print(torch.dot(a,b)) # 等价于 1*0+2*1+3*0

输出：

tensor([1., 2., 3.])
tensor([1., 1., 1.])
tensor(6.)

#向量的点乘（点积）运算
a = torch.Tensor([1,2,3])
b = torch.Tensor([1,1,1])
print(a)
print(b)

print(torch.vdot(a,b)) # 等价于 1*0+2*1+3*0

输出：

tensor([1., 2., 3.])
tensor([1., 1., 1.])
tensor(6.)

第3章 向量的叉乘

3.1 定义

两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。

并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

定义：向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。 
特别地，0×a = a×0 = 0.此外，对任意向量a，自身相乘a×a=0。

对于向量a和向量b：

a和b的外积公式为（得到的是原先维度的向量）：

3.2 几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

3.3 代码示例

# 向量的叉乘（乘积）运算
a = torch.Tensor([1,2,3])
b = torch.Tensor([1,1,1])
print(a)
print(b)

print(torch.multiply(a,b))

输出：

tensor([1., 2., 3.])
tensor([1., 1., 1.])
tensor([1., 2., 3.])

第4章  矩阵的内积运算(对应)：inner()

4.1 矩阵内积的定义

两个相同维度的矩阵a和b，a和b矩阵的内积时相同位置的向量的内积。

（1）向量向量内积

 （2）向量矩阵的内积：

 

4.2 代码示例

# 矩阵的内积运算
a = torch.Tensor([1,2,3])
b = torch.Tensor([0,1,0])
print(a)
print(b)

print(torch.inner(a,b)) # 等价于 1*0+2*1+3*0
print("")

a = torch.Tensor([[0,1,0], [0,2,0]])
b = torch.Tensor([[0,3,0], [0,4,0]])
print(a)
print(b)
print(torch.inner(a,b)) # 等效于每个向量两两内积

输出：

tensor([1., 2., 3.])
tensor([0., 1., 0.])
tensor(2.)

tensor([[0., 1., 0.],
        [0., 2., 0.]])
tensor([[0., 3., 0.],
        [0., 4., 0.]])
tensor([[3., 4.],
        [6., 8.]])

第5章 矩阵的外积运算: matmul()

5.1 矩阵外积（矩阵乘积）的定义 （矩阵相乘）

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。

（1）向量的乘积

（2）矩阵的乘积

5.2代码示例

# 外积
a = torch.Tensor([1,2,3])  # 相当于1* N
b = torch.Tensor([0,1,0]) # 相当于N * 1
print(a)
print(b)
print(torch.matmul(a,b)) # 等价于 1*0+2*1+3*0

print("")

a = torch.Tensor([[1,2,3], [4,5,6]])
b = torch.Tensor([[0,1], [1,1], [1,1]])

print(a)
print(b)
print(torch.matmul(a,b)) # X * N VS N * Y => X * Y

输出：

tensor([1., 2., 3.])
tensor([0., 1., 0.])
tensor(2.)

tensor([[1., 2., 3.],
        [4., 5., 6.]])
tensor([[0., 1.],
        [1., 1.],
        [1., 1.]])
tensor([[ 5.,  6.],
        [11., 15.]])

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