伯努利分布与二项分布Binomial Distribution

• 伯努利分布

  瑞士数学家雅克·伯努利``(Jacques Bernoulli,1654～1705)首次研究独立重复试验(每次成功率为p)。在他去世后的第8年(1713年)，他侄子尼克拉斯出版了伯努利的著作《推测术》。

  在书中，伯努利指出了如果这样的试验次数足够大，那么成功次数所占的比例以概率1接近p。

• 二项分布

  二项分布（Binomial Distribution， 维基百科）是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。

  其中，每次试验的成功概率为$p$。

  这样的单次成功/失败实验又称为伯努利试验。即，当$n=1$，二项分布就是伯努利分布。

  如果随机变量$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，记作$X-b(n,p)$。

  换句话说，二项分布是指在只有两个结果的n次独立的伯努利试验中，所期望的结果出现次数的概率。

• 二项分布概率计算

  将扔硬币作为伯努利事件。以硬币出现正面，作为事件成功，则$p=0.5$。

  将此事件重复$n$次，比如$n=2$,则事件伯努利事件成功次数$k$，作为二项分布所求概率的标的。

  这么来理解，二项分布，首先是用来描述概率的，描述的是什么（标的）的概率呢？就是$n$次独立伯努利事件中成功次数$k$的概率。$k$是此处的标的，是一个现象，现象背后的实现方式有可能有多种，对于$k=0,2$，标的现象只有一种实现方式，而$k=1$这种现象就有两种实现方式，因此概率更大。

  概率的计算公式：
  $$b(k,n,p)=C_n^k{p}^k{q}^{(}n-k)$$
  表示$n$次实验中出现$k$次伯努利成功现象的概率。其中**$C_n^k$就是对同一现象不同实现方式的统计**。

• References

1. 统计基础篇之十：怎么理解二项分布