数据结构与算法之美-二叉查找树

前言：本篇文章只是记录王争的数据结构与算法之美的学习笔记，写下来能强迫自己系统的再过一遍，加深理解。这门课以实际开发中遇到的问题为例，引入解决问题涉及到的的数据结构和算法，但不会讲的太细，最好结合一本实体书进行学习。

二叉查找树是一种特殊的二叉树，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

1. 二叉查找（搜索）树

特点：

• 任意节点的左子树中节点的值，都要小于这个节点的值
• 任意节点的右子树中节点的值，都要大于这个节点的值

如下图所示：

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2. 二叉查找树的操作

2.1 查找操作

具体操作：

• 先取根节点
• 如果它等于要查找的数据，就返回
• 如果它比要查找的数据大，就从左子树中继续查找
• 如果它比要查找的数据小，就从右子树中继续查找

如下图所示：

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代码也很好理解，如下图所示：

public class BinarySearchTree {
  private Node tree;

  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }

  public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  }
}

2.2 插入操作

新插入的数据是在叶子节点上，所以要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

• 如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就插入到右子节点的位置；如果不为空，则遍历右子树，查找插入的位置
• 如果插入的数据比节点数据小，并且节点的左子树为空，就将数据插入到左子节点的位置；如果不为空，则遍历左子树，查找插入位置

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代码如下：

public void insert(int data) {
  if (tree == null) {
    tree = new Node(data);
    return;
  }

  Node p = tree;
  while (p != null) {
    if (data > p.data) {
      if (p.right == null) {
        p.right = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.right;
    } else { // data < p.data
      if (p.left == null) {
        p.left = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.left;
    }
  }
}

2.3 删除操作

需要分三种情况去处理：

• 如果要删除的节点没有子节点，只需要将其父节点中指向要删除节点的指针置为 null
• 如果要删除的节点只有一个子节点，只需要将父节点中指向要删除节点的指针，指向要删除节点的唯一的子节点
• 如果要删除的节点有两个子节点，需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上，然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点

如下图：

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代码如下：

public void delete(int data) {
  Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
  Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
  while (p != null && p.data != data) {
    pp = p;
    if (data > p.data) p = p.right;
    else p = p.left;
  }
  if (p == null) return; // 没有找到

  // 要删除的节点有两个子节点
  if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
    Node minP = p.right;
    Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
    while (minP.left != null) {
      minPP = minP;
      minP = minP.left;
    }
    p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
    p = minP; // 下面就变成了删除minP了
    pp = minPP;
  }

  // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
  Node child; // p的子节点
  if (p.left != null) child = p.left;
  else if (p.right != null) child = p.right;
  else child = null;

  if (pp == null) tree = child; 
  else if (pp.left == p) pp.left = child;
  else pp.right = child;
}

2.4 其他操作

比如：

• 快速查找最大节点和最小节点
• 查找前驱节点和后继节点

中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，所以又称为二叉排序树。

3. 支持重复数据的二叉查找树

实际应用中，二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。可以利用对象的某个字段值（key）来构建二叉查找树，对象中其他字段叫作卫星数据。

对于包含相同键值的数据的二叉查找树，有两种解决方法：

• 可以通过链表或者支持动态扩容的数组等结构，将值相同的数据都存储在同一个节点上
• 每个节点仍然只存储一个节点，在插入时，将要插入的数据，放到相同数据节点的右子树，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

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在查找数据的时候，遇到值相同的节点之后，继续在其右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

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对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面的删除操作的方法，依次删除。

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4. 时间复杂度分析

对于不同类型的二叉查找树，执行效率是不同的，比如下图：

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比如第一种，已经退化成链表了，查找的时间复杂度就是 O(n)了。

最理想的情况就是二叉查找树是一棵完全二叉树或者满二叉树，插入、删除、查找的时间复杂度都是跟树的高度成正比，也就是 O(height)。

树的高度 height = 最大层数 - 1，完全二叉树的层数小于等于 log2n + 1，也就是完全二叉树的高度小于等于 log2n。平衡二叉查找树的高度接近logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是O(logn)。

5. 有了散列表之后为啥还需要二叉查找树？

• 散列表中的数据是无序的，输出时需要先排序，对于二叉查找树，只需要中序遍历即可
• 散列表扩容耗时，遇到散列冲突时，性能不稳定，平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。
• 散列表涉及因素较多
• 散列表装载因子不能太大，会浪费内存

6. 练习

• 二叉查找树的插入、删除、查找操作（包含相同数据）
• 获取二叉树的高度
• 快速查找最大节点和最小节点
• 查找前驱节点和后继节点