2021 五一建模 疫苗生产问题

题目A题 疫苗生产问题

新冠肺炎肆虐全球，给世界带来了深重的灾难。
各国为控制疫情纷纷研发新冠疫苗。假定疫苗生产需要经过CJ1工位、CJ2工位、CJ3工位以及 CJ4工位等4个工艺流程。每个工艺流程一次性均能处理100剂疫苗，这100剂疫苗装进一个加工箱一起送进工位的设备进行处理。而且，只有按照CJ1-CJ2-CJ3-CJ4的顺序在4个工位都进行了加工以后，才算完成生产。为防止疫苗包装出现混乱，某疫苗生产公司生产部门规定，每个工位不能同时生产不同类型的疫苗，疫苗生产不允许插队，即进入第一个工位安排的每类疫苗的生产顺序一旦确定就要一直保持不变，而且前一种类型的疫苗离开某个工位后，后一种类型的疫苗才能进入这个工位。
现有YM1-YM10等10种不同类型的疫苗需要生产。为安全起见，每种类型每箱（内装疫苗100剂）疫苗在每个工位上均进行了50次模拟生产。发现，由于生产设备、疫苗纯化等多种原因，每个工位生产不同类型的每箱疫苗所需的时间并不稳定，详细的数据见附件1。
请建立数学模型，回答下列问题:
问题1：请对每箱疫苗在所有工位上的生产时间进行均值、方差、最值、概率分布等统计分析，以方便疫苗生产公司管理者能够直观的掌握每个工位生产疫苗的能力水平，为疫苗生产提供参考。
问题2：某国疫苗检测部门紧急需要YM1-YM10各100剂疫苗进行检测。为赶时间，疫苗生产公司需要对疫苗的生产顺序进行规划，以便能在最短时间内交付，以每个工位生产每箱疫苗平均时间为依据。请建立数学模型，制定疫苗生产顺序，初始时刻为00:00，计算生产总时间，并将结果填入表1。

问题3：在实际生产中，每个工位生产每种疫苗的所需时间具有随机性。如果要求该公司疫苗交货总时间比问题2的总时间缩短5%，请建立数学模型，以最大的概率完成这个任务为目标，确定生产顺序，并给出缩短的时间比例与最大概率之间的关系。
问题4：现在该疫苗生产公司接收了10种类型疫苗不同规模的生产任务（见附件2）。由于生产机器需要检修和维护，每个工位每天生产的时间不能超过16小时。为避免疫苗错误包装，要求每种类型疫苗的生产任务不可以拆分，即同种类型疫苗生产全部完成之后才能生产另外类型的疫苗。请建立数学模型，在可靠性为90%的前提下安排生产方案，至少多少天可以完成任务？
问题5：如果该疫苗生产公司计划在100天内选择部分数量的疫苗进行生产，每个工位每天生产的时间不能超过16小时，每种类型疫苗的生产任务可以适当拆分，即每种类型的疫苗可以只完成一部分。以最大销售额为目标，请建立数学模型安排生产计划。

B题 消防救援问题

随着我国经济的高速发展，城市空间环境复杂性急剧上升，各种事故灾害频发，安全风险不断增大，消防救援队承担的任务也呈现多样化、复杂化的趋势。对于每一起出警事件，消防救援队都会对其进行详细的记录。
某地有15个区域，分别用A、B、C…表示，各区域位置关系及距离如图1所示，各区域的人口及面积见附件1，该地消防救援队出警数据见附件2。
请依据该地的消防出警数据，建立数学模型，完成以下问题：
问题1：将每天分为三个时间段（0:00-8:00为时段Ⅰ，8:00-16:00为时段Ⅱ，16:00-24:00为时段Ⅲ），每个时间段安排不少于5人值班。假设消防队每天有30人可安排值班，请根据附件数据，建立数学模型确定消防队在每年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段各应安排多少人值班。
问题2：以该地2016年1月1日至2019年12月31日的数据为基础，以月份为单位，建立消防救援出警次数的预测模型；以2020年1月1日至2020年12月31日的数据作为模型的验证数据集，评价模型的准确性和稳定性，并对2021年各月份的消防救援出警次数进行预测，完成表1。
问题3：依据7种类别事件的发生时间，建立各类事件发生次数与月份关系的多种数学模型，以拟合度最优为评价标准，确定每类事件发生次数的最优模型。
问题4：根据图1，请建立数学模型，分析该地区2016-2020年各类事件密度在空间上的相关性，并且给出不同区域相关性最强的事件类别（事件密度指每周每平方公里内的事件发生次数）。
问题5：依据附件2，请建立数学模型，分析该地各类事件密度与人口密度之间的关系（人口密度指每平方公里内的人口数量）。
问题6：目前该地有两个消防站，分别位于区域J和区域N，请依据附件1和附件2，综合考虑各种因素，建立数学模型，确定如果新建1个消防站，应该建在哪个区域？如果在2021-2029年每隔3年新建1个消防站，则应依次建在哪些区域？

C题 数据驱动的异常检测与预警问题

推动生产企业高质量发展，最根本的底线是保证安全、防范风险，而生产过程中产生的数据能够实时反映潜在的风险。附件1为某生产企业某日00:00:00-22:59:59由生产区域的仪器设备记录的时间序列数据（已经进行数据脱敏），本题未给出数据的具体名称，这些数据可能是温度、浓度、压力等与安全密切相关的数据。

请依据附件1数据，建立数学模型，完成以下问题：

****问题1：****附件1所给出的数据都可能存在波动，且所有波动都在安全值范围内。有些波动可能是正常性波动，例如随着外界温度或者产量变化的波动，或者可能是传感器误报，这些波动具有规律性、独立性、偶发性等特点，并不能产生安全风险，我们视为非风险性异常，不需要人为干预；有些波动具有持续性、联动性等特点，这些异常性波动的出现是生产过程中的不稳定因素造成的，预示着可能存在安全隐患，我们视为风险性异常，需要人为干预、分析和评定风险等级。请建立数学模型，给出判定非风险性异常数据和风险性异常数据的方法。

****问题2：****结合问题1的结果，建立数学模型，给出风险性异常数据异常程度的量化评价方法，要求使用百分制（0-100分）对每个时刻数据异常程度进行评价（分值越高表示异常程度越高）。应用所建立的模型和附件1的数据，找到数据中异常分值最高的5个时刻及这5个时刻对应的异常传感器编号（每个时刻只填写5个异常程度最高的传感器编号，异常传感器不足5个则无需填满；如果得分为0，可以不用填写异常传感器编号），并给出数学模型对所得结果进行评价。

表1 问题2的结果

	第一高分	第二高分	第三高分	第四高分	第五高分
异常程度得分
异常时刻编号
异常传感器编号
异常传感器编号
异常传感器编号
异常传感器编号
异常传感器编号

****问题3：****为了提前发现未来生产过程中可能存在的风险隐患，请建立风险性异常预警模型，预测当日23:00:00-23:59:59可能产生的风险性异常。结合问题2中给出的风险性异常程度量化评价方法，指出23:00:00-23:59:59中四个时间段（见表2），每个时间段内的最高异常分值及对应的异常传感器编号（只填写5个异常程度最高的传感器编号，异常传感器不足5个则无需填满；如果得分为0，可以不用填写异常传感器编号）。

表2 问题3的结果

时间	23:00:00-23:14:59	23:15:00-23:29:59	23:30:00-23:44:59	23:45:00-23:59:59
异常最高分
异常传感器编号
异常传感器编号
异常传感器编号
异常传感器编号
异常传感器编号

****问题4：****根据问题2和问题3中的结果，建立数学模型对该生产企业整个生产系统的安全性进行评价，请在00:00:00-23:59:59内每隔30分钟，用0-100分进行安全性评分，0分表示安全性最低，100分表示安全性最高（包括00:00:00-23:00:00的得分和23:00:00-23:59:59的预测得分），并用适当的方法对所给评分的结果进行评价和敏感性分析。

表3 问题4的结果

时间	安全性评分	时间	安全性评分
00:30:00		12:30:00
01:00:00		13:00:00
01:30:00		13:30:00
02:00:00		14:00:00
02:30:00		14:30:00
03:00:00		15:00:00
03:30:00		15:30:00
04:00:00		16:00:00
04:30:00		16:30:00
05:00:00		17:00:00
05:30:00		17:30:00
06:00:00		18:00:00
06:30:00		18:30:00
07:00:00		19:00:00
07:30:00		19:30:00
08:00:00		20:00:00
08:30:00		20:30:00
09:00:00		21:00:00
09:30:00		21:30:00
10:00:00		22:00:00
10:30:00		22:30:00
11:00:00		23:00:00
11:30:00		23:30:00
12:00:00		23:59:59

思路

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