组合数学 8种盒子放球问题
这篇博客总结一下下边8种问题：
1. 有n个相同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
2. 有n个相同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
3. 有n个相同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
4. 有n个相同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
5. 有n个不同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
6. 有n个不同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
7. 有n个不同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
8. 有n个不同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
题解：
1. 有n个相同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
这个问题等价于求n=a1+a2+a3+...ak ,ai不能为0的方案数。隔板法，插空法。
把n个相同的球放在一行，那么这n个球中间有n-1个空，那么在这n-1个空中选k-1个空，放k-1个隔板，就把这n个球分成了k份。
所以方案数为C(n-1,k-1) , 组合数公式，表示从n-1个取k-1个的方案数。
例题: 牛客网 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D
2. 有n个相同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
和问题1方法一样，这个允许盒子为空。n=a1+a2+a3+...ak ,ai可以为0的方案数。
这个题等价于 有n+k个相同的球，k个不同盒子，盒子不许为空的方案数。因为：把这n+k个球分到k个盒子之后，把每个盒子里的球的数量都减一，那么球的总数就是n个了，盒子里的球就可能是空的了。
所以方案数为 C（n+k-1,k-1）.
例题: 牛客网 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D
3. 有n个相同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
这是一道动态规划题，用dp[i][j]表示把n个球放到不超过k个盒子里的方案数。
我们可以根据有没有空盒子列出下面这个转移方程：
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j] ,解释一下：
dp[i][j-1] 表示有空盒子，那么就是i个球放到不超过j-1个盒子的方案数
dp[i-j][j] 表示没有空盒子，那么每个盒子最少要有1个球，那么先把每个盒子放一个球，还剩下i-j个球，把剩下的i-j个球分到不超过j个盒子。
dp[n][k]就是答案。
4. 有n个相同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
和第3个方法一样，也是动态规划，dp[i][j]表示的意义和第3题一样。
答案应该是 dp[n][k]-dp[n][k-1].
显然，（n个球放到k个相同的盒子，盒子允许为空的方案数）减去（n个球放到k-1个盒子，盒子允许为空的方案数）就是 （n个球放到k个盒子，盒子不允许为空的方案数）。
5. 有n个不同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
这个题是第二类Stirling数，不知道的自己百度。
用S（n,k）表示n个不同的球，放到k个不同的盒子，盒子不允许为空的方案数。
那么 S(n,k)=S（n-1,k-1）+k*S(n-1,k) 1<=k<=n S(0,0)=1,S(i,0)=0
解释一下怎么理解这个状态转移方程，第n个球可以有两种状态，第n个球单独在一个盒子里，第n个球所在盒子至少有两个。
S(n-1,k-1) 就是第n个球单独在一个盒子里，那么就剩n-1个不同球，分到剩下的k-1个盒子里。
k*S(n-1,k) ：先把前i-1个分配到k个盒子里，方案数是S(n-1,k) ，第n个球然后就有k种方法，总方案数就是k*S(n-1,k)
dp打出一个二维数组的表，就能算出答案
6. 有n个不同的球，k个相同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
和第5题方法一样，答案就是 S(n,1)+S(n,2)+.....S(n,k)
显然是这样的，不解释。
7. 有n个不同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子不允许为空，有多少种方案。
和第5题的区别是盒子不同，那么答案就是 S(n,k)*k!
8. 有n个不同的球，k个不同的盒子，把n个球放到盒子里，盒子允许为空，有多少种方案。
k的n次方，每个球都有k中选择。
有什么问题欢迎在下边评论。