[数字信号处理]FIR&IIR数字滤波器

摘要

        本文阐述了FIR、IIR数字滤波器的设计思路并设计了不同类型的FIR和IIR滤波器。随后通过对音乐信号进行滤波处理，观察滤波的效果，进行了各自特点以及滤波效果的比较。

目录

一、研究背景

二、设计IIR数字滤波器

1.确定IIR数字滤波器的设计指标

2.CBI型IIR数字滤波器的设计

（1）问题分析

（2）MATLAB实现以及结果

（3）结果分析

3.其它类型IIR数字滤波器的设计

（1）BW型

（2）CBII型

（3）椭圆型

（4）结果分析

三、设计FIR数字滤波器

1.设计FIR数字滤波器

2.凯泽窗和Parks-McClellan算法设计FIR数字滤波器

（1）凯泽窗设计FIR数字滤波器

（2）Parks-McClellan算法设计FIR数字滤波器

四、比较IIR和FIR数字滤波器

1.比较相同指标IIR和FIR数字滤波器的阶数

2.比较相同指标IIR和FIR数字滤波器的滤波效果

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一、研究背景

        Dhexian.wav是将D大调和弦以8000Hz抽样所得的数字音乐信号，下面设计数字滤波器从和弦中分离出乐音A，即440Hz的频率分量。

        现列出分离乐音A的模拟滤波器的设计指标如下：

二、设计IIR数字滤波器

1.确定IIR数字滤波器的设计指标

        由DbGA的频率关系我们可以看出，要从和弦中分离A，我们需要设计一个高通滤波器。由于脉冲响应不变法会导致严重的频域混叠现象，因此我们采用双线性变换法。

        在双线性变换法中

        由此我们可以分别计算出题目中5个IIR滤波器的数字指标：

        下面仅列出指标1的详细计算过程：已知数字音频信号抽取频率为8000HZ，则T=1/8000。模拟高通滤波器指标为ωp=2πfp=2701.76968，ωs=2πfs=2324.77856 进而得到ωp、ωs。最后根据公式Ω=2arctan⁡(Tω/2)计算出相关数字滤波器的指标。

指标1：Ωp=0.33456，Ap=1dB，Ωs=0.28857，As=20dB；

指标2：Ωp=0.33456，Ap=1dB，Ωs=0.28857，As=50dB；

指标3：Ωp=0.34219，Ap=1dB，Ωs=0.28857，As=50dB；

指标4：Ωp=0.34219，Ap=1dB，Ωs=0.29626，As=50dB；

指标5：Ωp=0.34219，Ap=1dB，Ωs=0.28088，As=50dB；

2.CBI型IIR数字滤波器的设计

（1）问题分析

        由1.计算出了五个数字滤波器的设计指标（通带截频Ωp、通带最大衰减Ap、阻带截频Ωs、阻带最小衰减As）对于比较这几个数字滤波器，我们可以将给定音频分别通过这五个滤器，通过观察频谱情况，来分析滤波器效果。

（2）MATLAB实现以及结果

        1）给定和弦频谱

        首先给出给定和弦未经滤波的频谱图可以观察到

给定和弦频谱

        2）滤波器的设计

        由于用到的均为CBI型滤波器，所以在设计这五个滤波器时，只需要在开头更改相关设计指标即可。滤波器设计代码如下：

CBI型数字滤波器MATLAB代码

        

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        指标1滤波器

        fp=430Hz，Ap≤1dB，fs=370Hz，As≥20dB

指标1 CBI型滤波器

         得到的滤波器Ap=1.0000、As= 22.3144、N=7。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，且乐音G的衰减超过20dB，符合要求。 

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        指标2滤波器

        fp=430Hz，Ap≤1dB，fs=370Hz，As≥50dB

指标2 CBI型滤波器

         得到的滤波器Ap=1.0000、As= 51.5778、N=13。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，且乐音G的衰减超过50dB，符合要求。

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        指标3滤波器

         fp=440Hz，Ap≤1dB，fs=370Hz，As≥50dB

指标3 CBI型滤波器

         得到的滤波器Ap=1.0000、As= 51.2560、N=12。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，且乐音G的衰减超过50dB，符合要求。

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        指标4滤波器

         fp=440Hz，Ap≤1dB，fs=380Hz，As≥50dB

指标4 CBI型滤波器

        得到的滤波器Ap=1.0000、As= 50.7582、N=13。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，且乐音G的衰减超过50dB，符合要求。

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        指标5滤波器

         fp=440Hz，Ap≤1dB，fs=360Hz，As≥50dB

指标5 CBI型滤波器

         得到的滤波器Ap=1.0000、As= 50.6835、N=11。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，且乐音G的衰减超过50dB，符合要求。

（3）结果分析

        对着五个滤波器进行比较可以发现：

        指标1与指标2滤波器截频相同，相邻乐音G的衰减程度随阻带最小衰减的增大而增大，证明滤波效果更好。但对应的阶数N将增大，实现难度将提高。

        指标3、指标4、指标5滤波器的衰减条件相同，相邻乐音G的衰减程度随阻带截频的提高而增大，证明滤波效果更好，但对应的阶数N将增大，实现难度将提高。

        这五个滤波器都可以满足滤波设计指标，但指标一的效果明显差于其它指标的滤波器。由于考虑硬件设计的复杂程度，我们在滤波效果好的情况下选取阶数N较低的滤波器，因此选取指标5设计的滤波器，既可以很好的实现滤波效果，又能在一定程度上降低阶数，降低成本。

3.其它类型IIR数字滤波器的设计

（1）BW型

        经过CBI型滤波器的比较，我们最终选用指标5来进行其它滤波器的设计，具体指标为：

fp=440Hz，Ap≤1dB，fs=360Hz，As≥50dB

指标5 BW型滤波器MATLAB代码

指标5 BW型滤波器

         得到的滤波器Ap=0.7079、As= 50.0000、N=33。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，符合要求。

（2）CBII型

指标5 CBII型滤波器MATLAB代码

指标5 CBII型滤波器

         得到的滤波器Ap=1.0000、As= 55.2789、N=11。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，符合要求。

（3）椭圆型

指标5 椭圆型滤波器MATLAB代码

指标5 椭圆型滤波器

         得到的滤波器Ap=1.0000、As= 83.1831、N=6。通过滤波后的频谱我们可以看出440Hz的乐音A可以通过，符合要求。

（4）结果分析

        下面列出各类型滤波器的阶数要求

滤波器类型	BW型	CBI型	CBII型	椭圆型
阶数N	33	11	11	6

        可以看到，BW型对阶数的要求最高，椭圆型对阶数要求最低，CBI与CBII型阶数要求相同。上述四种滤波器都很好的完成了滤波设计指标。但从实际角度来讲，椭圆型的滤波器较难实现。因此，综合考虑CBI、II型为最优方案。

三、设计FIR数字滤波器

1.设计FIR数字滤波器

        由于需要逼近理想滤波器的特性，则中心截频可由下公式得出

         根据常用窗函数性质表选择窗函数。

常用窗函数性质表

窗函数类型	主瓣宽度	近似过渡带宽度
矩形
Hann
Hamming
Blackman

        下面列出几个指标的截频：

         首先，给出五个指标的幅度响应总览图：

五种指标FIR滤波器的幅度响应总览

         下面是五种滤波器各自的幅度响应以及和弦通过滤波器的幅度响应：

五种指标FIR滤波器的幅度响应

和弦分别通过五种指标FIR滤波器的幅度响应

         根据幅频响应的比较，可以得出，除了指标一的衰减明显差于其它四种指标滤波器外，其它指标设计的FIR滤波器均可满足要求指标。考虑到硬件设计的复杂度，我们选择阶数最低的指标五来设计滤波器。阶数M=349。此外，若对于衰减要求不高，指标一为最优选择。

        下面给出MATLAB的实现代码：

2.凯泽窗和Parks-McClellan算法设计FIR数字滤波器

（1）凯泽窗设计FIR数字滤波器

        首先给出凯泽窗设计结果：

Kaiser 窗幅度、相位幅度

Kaiser窗增益函数图

         MATLAB代码如下：

（2）Parks-McClellan算法设计FIR数字滤波器

        首先给出Parks-McClellan算法设计FIR数字滤波器结果

PM算法设计滤波器的幅度、相位响应

PM算法设计滤波器的增益函数图

         MATLAB代码如下：

四、比较IIR和FIR数字滤波器

1.比较相同指标IIR和FIR数字滤波器的阶数

数字滤波器类型	指标5	阶数
IIR	BW型	33
	CBI型	11
	CBII型	11
	椭圆型	6
FIR	Hamming窗	349

        可以发现，相同指标下，FIR的设计阶数远远大于IIR。

2.比较相同指标IIR和FIR数字滤波器的滤波效果

        从幅度响应看，FIR滤波器的阻带是等波纹振荡，而IIR滤波器阻带和通带都较平整，这是因为阶数不同导致的。

        从相位响应看，FIR滤波器是线性相位，而IIR滤波器相位响应非线性。因此在对相位要求较高的情况下适宜FIR滤波器，而对相位要求不高推荐IIR滤波器，因为阶数低，易于物理实现。