坐标系中求三角形面积的三种方法(鞋带公式、海伦公式、三角形面积公式)

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一、鞋带公式

1.1 鞋带公式定义

Shoelace公式，也叫高斯面积公式，是一种数学算法，可求确定区域的一个简单多边形的面积。

该多边形是由它们顶点描述笛卡尔坐标中的平面。

用户交叉相乘相应的坐标以找到包围该多边形的区域，并从周围的多边形中减去该区域以找到其中的多边形的区域。

之所以称为鞋带公式，是因为对构成多边形的坐标进行恒定的交叉乘积，就像系鞋带一样。

1.2 鞋带公式示意图

为什么叫做鞋带公式，这是因为在计算的过程很像鞋带一样缠绕着，

比如一个多边形（三角形），

三个顶点分别是 A:(x1, y1) , B:(x2, y2) , C:(x3, y3)

鞋带公式是这样子算的：

S三角形=0.5∗((x1∗y2+x2∗y3+x3∗y1)−(y1∗x2+y2∗x3+y3∗x1)) 

代个例子A:(0, 4) , B:(0, 0) , C:(3, 0) 到公式中：

S三角形=0.5∗((0∗0+0∗0+3∗4)−(4∗0+0∗3+0∗0))=6

在计算多边形面积的时候很方便。

1.3 使用鞋带公式计算面积的最终公式

并且约定：当下标大于 n 时：

1.4 更复杂的例子

首先参考一个例子，展示如何利用鞋带定理计算多边形面积。

我们只需选择一个顶点，然后按照逆时针顺序读取坐标，最后回到起点。

并按照类似系鞋带的顺序将坐标串联起来。 

将绿线相连的数直接相乘，再相加；将红线相连的数直接相乘，再相加。最后将两者相减，则多边形的面积为110/2=55

 二、海伦公式

2.1 海伦公式定义

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。

它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

2.2 示意

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长（周长的一半）：

 

三、三角形面积公式

 S = 1/2 * a * b * sin(C)

首先得到两边的长度，通过叉积算出夹角的正弦值，并使用公式计算出面积。