MIMO的信道容量以及实现

最近听了老师讲MIMO信道容量的实现，感触良多，作为刚入门通信的菜鸟，特贴上老师上课的学习笔记，以此激励自己！

信道容量

所谓信道容量，是指信道能无差错的传输信息的最大信息速率，从信息论的角度，信道容量定义为：
$$C=\underset{f(x)}{\max }I(x,y)$$
      其中$I(x,y)$是随机变量x和y的互信息，f(x)是x的概率密度函数，相当于，我们通过改变发射信号的概率密度函数，可以实现互信息的最大值，这个最大值就是信道容量。
SISO信道
先看最简单的单输入单输出信道模型：

                                                            输出   $y(t)=hx(t)+z(t)$
通信原理我们学过，当输出x服从高斯分布时，可以达到信道容量：
$$C={\log }_2(1+\frac{P}{{\sigma }^2}|h{|}^2)$$
这里对带宽进行了归一化，所以没有B。
MIMO信道

                                                                 输出   $y=Hx+z$
这里H是一个$r\times t$维的矩阵，输入x是一个$t\times 1$维的向量，t表示发射，r表示接收。z是一个服从均值为0，方差为${\sigma }^{2}I$的复高斯噪声。
回顾信息论，我们有如下公式：$I(x,y)=H(y)-H(y|x)$
这里x和y都是连续随机向量，H(y)是y的微分熵。
假设x和z相互独立，所以有H(y|x)=H(z)(个人理解是熵是不确定性的度量，x和z相互独立，所以x条件下y的熵，相当于求信道里面噪声的不确定性，也就是H(z)。
所以，求最大化互信息，当给定H(z)时，即为最大化H(y)，所以$I(x,y)=H(y)-H(z)$
当x服从复高斯分布，y服从复高斯分布时，y的微分熵最大。
$$H(y)={\log }_2(\det (\pi e{R}_y))$$$$H(z)={\log }_2(\det (\pi e{\sigma }^{2}I))$$
这里Ry是接收信号y的自相关矩阵。
$$R_y=E\{y{y}^H\}$$ $$=E\{(Hx+z){(Hx+z)}^H\}$$ $$=E\{(Hx{x}^H{H}^H+Hx{z}^H+z{x}^H{H}^H+z{z}^H)\}$$ $$=HE\{x{x}^H\}{H}^H+{\sigma }^{2}I$$ $$=HS{H}^H+{\sigma }^{2}I$$
这里，S是发送信号的协方差矩阵。因为x、z相互独立，所以乘积为0；信号的自协方差矩阵相当于方差，所以噪声那一项就变为了${\sigma }^{2}I$
代入熵的表达式中H(y)中，有：$$I(x;y)={\log }_2\det (I+\frac{1}{{\sigma }^2}HS{H}^H)$$
所以，我们的目标就变为：$$C=\underset{Tr(s)<P}{\max I(x;y)}=\underset{Tr(s)<P}{\max }{\log }_2\det (I+\frac{1}{{\sigma }^2}HS{H}^H)$$
如何设计发送信号的协方差矩阵S，使得上式最大？
采用方法：SVD分解，hadamard不等式，注水法
1、SVD分解
（要想知道公式怎么来的可以去参考矩阵论，这里不做推导）
对信道矩阵H进行SVD分解，有 $H=U\Lambda V^H$
其中，H的秩为m,U为$r\times m$,V为$t\times m$的矩阵，U、V都是酉矩阵，即装置乘以本身为单位阵。$\Lambda$为m*m维，其对角元素为${\lambda }_i$非负。
所以高斯信道容量可以写为：
$$C=\underset{Tr(s)<P}{\max I(x;y)}=\underset{Tr(s)<P}{\max }{\log }_2\det (I+\frac{1}{{\sigma }^2}U\Lambda V^{H}SV\Lambda U^H)$$定义$\hat{S}=V^{H}SV$，再利用det(I+AB)=det(I+BA),可以得到：
$$I(x;y)={\log }_2\det (I_r+\frac{1}{{\sigma }^2}U\Lambda V^{H}SV\Lambda U^H)$$$$={\log }_2\det (I_m+\frac{1}{{\sigma }^2}{V}^{H}SV\Lambda U^{H}U\Lambda )$$$$={\log }_2\det (I_m+\frac{1}{{\sigma }^2}{V}^{H}SV{\Lambda }^2)$$$$={\log }_2\det (I_m+\frac{1}{{\sigma }^2}\hat{S}{\Lambda }^2)$$
2、Hadamard不等式
Hadamard不等式：对任意半正定矩阵A的行列式小于或者等于所有对角元素的乘积：$$det(A)\le {\prod _i\left[A\right]}_{i,i}$$
当且仅当A是对角阵的时候成立。
所以，我们得到，$$I(x;y)\le \sum _{i=1}^m{\log }_2\det (1+\frac{1}{{\sigma }^2}{\lambda }_i^2{[\hat{S}]}_{i,i})$$当且仅当$\hat{S}$是对角阵的时候等号成立。
为了最大化互信息，假设$\hat{S}=V^{H}SV$=${\Lambda }_p$,即为对角矩阵。${\Lambda }_p$为功率分配矩阵${\Lambda }_p=diag\{p_1,p_2...p_n\}$
我们有$S=V\hat{S}{V}^H$,代入I(X;Y)中，有：
$$C=maxI(x;y)=\sum _{i=1}^m{\log }_2(1+\frac{{\lambda }_i^2{p}_i}{{\sigma }^2})$$
**通过这个公式，对比siso的信道容量公式，就可以将mimo看成若干个siso的并行子信道，每个子信道的功率增益为${\lambda }_i$。
同时，考虑发射功率会有约束，$Tr(S\le P)$，代入S，利用$Tr(AB=Tr(BA)$,我们有：
$$Tr(S)=Tr(V{\Lambda }_p{V}^H)=Tr({\Lambda }_p{V}^{H}V)=Tr({\Lambda }_p)=\sum _{i=1}^m{p}_i<=P$$
我们这里通过S，反过来设计最优发射信号x ，使得上面的功率约束取等号，这里没细说，等我想明白了再写上
接下来，每个信号的强弱不一样，对每个信号分配不同的功率，会影响信道容量。该如何分配这个功率，可以使信道容量达到最大值呢？
3、注水法
注水算法的基本原理就是根据香农公式和限制条件，通过拉格朗日乘数法组成的一个方程，先令其偏导为零，求出Pi的表达式，但是Pi的表达式中包含一个未知数，再根据限制条件可以先求解出该未知数，再回代到之前的方程中，可以求解得每个信道根据信道质量分配得到的Pi。求解问题如下：
mimo信道容量： max: $C=\sum _{i=1}^m{\log }_2\left(1+\frac{P_i}{{\sigma }^2}{\lambda }_i\right)$
功率满足： $\sum _{i=1}^m{P}_i=P$
上面为等式约束问题，可用拉格朗日乘子法求解。
引入拉格朗日函数，有 $Z(\lambda ,P_i)=\sum _{i=1}^m{\log }_2\left(1+\frac{P_i}{{\sigma }^2}{\lambda }_i\right)+L(P-\sum _{i=1}^m{P}_i)<=P$
对$P_i$求偏导，有

解得：$P_i=\frac{1}{L\bullet \ln 2}-\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }_i}=\mu -\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }_i}$
其中$\mu$为常数
因为功率不能为负数，将上述写为如下形式：
$P_i={\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }_i}\right)}^{+}$
所以最优的分配策略如上式
其中${\left(a\right)}^{+}=\max (a,0)$
这里可用通过$$\sum _{i=1}^m{P}_i=P=m\mu -\sum _{i=1}^m\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }^2}$$
得到：$\mu =\frac{P+\sum _{i=1}^m\frac{{\sigma }^2}{{\lambda }^2}}{m}$

也就是说，当已知csi（信道状态信息时），发送端会选择好的信道，给它分配大功率，过程如图示

时间有限，刚入门通信理论，不足之处我会虚心修改，打公式真的好难！