牛客练习赛76 F.phi and phi（莫比乌斯反演）

牛客练习赛76 F.phi and phi（莫比乌斯反演）

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10845/F
题目大意：给定一个正整数 $n$ ， $m\in [1,n],ans(m)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m\phi (ij)\phi (\gcd (i,j))$ ，求所有 $ans(m)$ 的值。
题解：既然要求所有式子在 $1$ 到 $n$ 中所有的取值，不妨假定这个式子存在状态转移方程。同时不难看出 $ans(m+1)$ 与 $ans(m)$ 存在联系，我们这样做一下式子的转化：

$$\begin{array}{rl}ans(m+1)& =\sum _{i=1}^{m+1}(\sum _{j=1}^m\phi (ij)\phi (\gcd (i,j))+\phi (i(m+1))\phi (\gcd (i,m+1)))\\ & =\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^{m+1}\phi (ij)\phi (\gcd (i,j))+\sum _{i=1}^{m+1}\phi (i(m+1))\phi (\gcd (i,m+1))\\ & =\sum _{j=1}^m(\sum _{i=1}^m\phi (ij)\phi (\gcd (i,j))+\phi ((m+1)j)\phi (\gcd (m+1,j)))+\sum _{i=1}^{m+1}\phi (i(m+1))\phi (\gcd (i,m+1))\\ & =ans(m)+2(\sum _{i=1}^{m+1}\phi (i(m+1))\phi (\gcd (i,m+1)))-(m+1){\phi }^2(m+1)\end{array}$$

设 $f(x)=\sum _{i=1}^x\phi (ix)\phi (\gcd (i,x))$ ，那么原式为：

$$\begin{array}{r}ans(m+1)=ans(m)+2f(m+1)-(m+1){\phi }^2(m+1)\end{array}$$

现在考虑如何求出函数 $f(x)$ 的值。首先我们有公式：

$$\begin{array}{r}\phi (ij)=\frac{\phi (i)\phi (j)\gcd (i,j)}{\phi (\gcd (i,j))}\end{array}$$

设 $d=\gcd (i,j)$ ，证明过程如下：

$$\begin{array}{rl}\phi (ij)& =\phi (\frac{i}{d})\phi (\frac{j}{d})\phi (d^2)\\ & =\frac{\phi (i)\phi (j)\phi (d)d}{{\phi }^2(d)}\\ & =\frac{\phi (i)\phi (j)d}{\phi (d)}\end{array}$$

那么，

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{i=1}^x\phi (i)\phi (x)\gcd (i,x)\\ & =\phi (x)\sum _{i=1}^x\sum _{d=1}^x\phi (i)d[d=\gcd (i,x)]\\ & =\phi (x)\sum _{d\mid x}d\sum _{i=1}^{\frac{x}{d}}\phi (id)[1=\gcd (i,\frac{x}{d})]\\ & =\phi (x)\sum _{d\mid x}d\sum _{i=1}^{\frac{x}{d}}\phi (id)\sum _{t\mid i,t\mid \frac{x}{d}}\mu (t)\\ & =\phi (x)\sum _{d\mid x}d\sum _{t\mid \frac{x}{d}}\mu (t)\sum _{i=1}^{\frac{x}{dt}}\phi (idt)\\ & =\phi (x)\sum _{T\mid x}\sum _{i=1}^{\frac{x}{T}}\phi (iT)\sum _{d\mid T}d\mu (\frac{T}{d})\\ & =\phi (x)\sum _{T\mid x}\sum _{i=1}^{\frac{x}{T}}\phi (iT)\phi (T)\end{array}$$

设 $g(x)=\sum _{T\mid x}\sum _{i=1}^{\frac{x}{T}}\phi (iT)\phi (T)$ ，显然， $g(x)$ 可以利用原始埃式筛 $O(nlogn)$ 预处理所有取值。那么对于原式 $ans(m+1)=ans(m)+2\phi (m+1)g(m+1)-(m+1){\phi }^2(m+1)$ 便可以线性递推确定所有的值了，同时有 $ans(1)=1$ 。

#include
using namespace std;
#define debug(x) cerr<<#x<<":"<
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<":"<
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<":"<
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,M=1000000007;
int cnt=0,n;
int prime[N],part[N],phi[N],g[N];
void pre(){
    g[1]=sp[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!part[i]){
            part[i]=prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        g[i]=((ll)g[i-1]+(ll)phi[i])%M;
        for(int j=0;i*prime[j]<=n;++j){
            part[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;++i){
        ll s=0;
        for(int j=i;j<=n;j+=i){
            s=(s+(ll)phi[j])%M;
            g[j]=((ll)g[j]+(ll)phi[i]*s%M)%M;
        }
    }
}
signed main(){
    int A=1;
    scanf("%d",&n);
    pre();
    printf("%d\n",A);
    for(ll i=2;i<=n;++i){
        ll t=(ll)phi[i]*(ll)g[i]%M;
        A=(((ll)A+t+t)%M-(ll)phi[i]*(ll)phi[i]%M*i%M)%M;
        printf("%d\n",(A+M)%M);
    }
}