【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面

【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面

B样条曲线与曲面

Bezier曲线缺陷：

缺乏灵活性：一旦确定了多边形的顶点数，就确定了曲线的阶数；

控制性差：当顶点数较多，曲线的阶次将比较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；

不易修改：由曲线的方程可看出，其Bernstein基函数的值在开区间(0,1)内不为零。因此，所定义之曲线(0<t<1)在区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。

B样条曲线：为克服Bezier曲线的缺陷，Gordon等人拓展了Bezier曲线，从外形设计的需求出发，希望新曲线易于进行局部修改、更逼近特征多边形、低阶次曲线

于是，用k阶B样条基函数替换了Bernstein基函数，构成了称之为B样条曲线的新型曲线。

B样条的递推定义与性质

基本概念

半开区间$[t_i,t_{i+1}]$ 是第i+1个节点区间；

集合T称为节点矢量；

重节点：如果一个节点ti出现r次 (即$t_i=t_{i+1}=...=t_{t+r-1},r>1$),ti 是重复度为r的多重节点

定义

$P_i(i=0,1,...,n)$是控制多边形的顶点

$N_{i,k}(t)(i=0,1,...,n)$称为k阶(k-1次)B样条基函数

多种基函数的定义：

de Boor-Cox递推定义

第i个k阶（基函数度数）B-样条基函数$N_{i,k}(t)$

约定$\frac{0}{0}=0$

通常称为de Boor-Cox递归公式；

如果次数为零(k= 1)，这些基函数都是阶梯函数。

特殊观察

1️⃣ 基函数$N_{i,k}(t)$在$[t_i,t_{i+k})$上非零；

2️⃣ 在任何一个节点区间$[t_i,t_{i+1})$, 最多有k个(k-1)次基函数非零：$N_{i-k+1,k}(t),N_{i-k+2,k}(t),...,N_{i,k}(t)$

性质

$N_{i,k}(t)$是t的k阶多项式

1️⃣ 局部支撑性：$N_{i,k}(t)$是在$[t_i,t_{i+k})$上的非零多项式

2️⃣ 权性(单位分解 )

3️⃣ 微分公式

4️⃣ 非负性：对所有的i,k和t, $N_{i,k}(t)$是非负的

5️⃣ 重要结论

基函数$N_{i,k}(t)$是(k-1)次多项式的复合曲线，连接点在$[t_i,t_{i+k})$上的节点处；

在重复度r的节点处，基函数$N_{i,k}(t)$是$C^{k-r-1}$连续的；

如果节点数目是(m+1),函数的阶数是k,控制点的个数是(n+1)，则m=(n+k)，即节点数等于控制点数+阶数

❓ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

注意阶数=次数+1

B样条曲线类型的划分

两个标准：首末节点是否重合和节点的分布情况。

1️⃣ 首末节点是否重合

开曲线：曲线不会与控制折线的第一边和最后一边接触；图1

闭曲线：第1个节点和最后1个节点是重复节点。

–Clamped：第一个节点和最后一个节点必须是重复度为k ；图2

–Closed：重复某些节点和控制点。图3

2️⃣ 节点的分布情况

假定控制多边形的顶点为$P_i(i=0,1,...n)$，阶数为k（次数为k-1），则节点矢量为$T=[t_0,t_1,...,t_{n+k}]$

均匀样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基

节点矢量为[0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 1]

准均匀样条曲线

两端点的重复度为k,内部其它节点呈均匀分布，且重复度为1。

端点过特征多边形的端点

节点矢量为[0, 0, 0, 0，1/3，2/3， 1，1, 1, 1]

分段Bezier曲线

节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。

图中有7个控制顶点，n=6，阶数为4，因此节点数为6+4+1=11，节点矢量为$T=[t_0,t_1,...,t_{10}]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]$

一般的非均匀B样条曲线

B样条曲线的性质

局部性

1️⃣ k阶B样条曲线上参数为$t\in [t_i,t_{i+1}]$的一点至多与k个控制顶点$P_j(j=i-k+1,...i)$有关，与其它控制顶点无关；

2️⃣ $P_i$只影响在区间$[t_i,t_{i+k})$上的曲线P(t)；

基函数$N_{i,k}(t)$在$[t_i,t_{i+k})$上非零；

3️⃣ 基函数$N_{i,k}(t)$在区间$[t_i,t_{i+k})$上都是次数不高于(k-1)的多项式。

❓ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间$[t5,t9)\in [t3,t10]$上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

注意看定义域,可能有陷阱

开曲线定义域

有k个基函数的支持，定义域是$[t_{k-1},t_{n+1}]$(k-1是次数，n+1是控制顶点数)

举例

使用节点向量T={0,0.25,0.5,0.75,1},如果基函数是2阶的(即k=2),那么有三个基函数N0,2(t),N1,2(t)和N2,2(t)；

第一个和最后一个节点区间只有一个非零基函数，而第二和第三节点区间(即[0.25,0.5)和[0.5,0.75))有两个非零基函数。

节点区间[0,0.25)和[0.75,1)没有基函数的“完全支持”。

一般来说，区间$[t_0,t_{k-1})$和$[t_{n+1},u_{n+k}]$不会有基函数的“完全支持”，当B样条曲线是开曲线时被忽略。

凸包性

贝塞尔曲线是B样条曲线的特例

分段参数多项式

P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式，因此P(t)是参数t的次数不高于k-1的分段多项式。

连续性

导数公式

变差缩减性

仿射不变性

即在仿射变换下，P(t)的表达式具有形式不变性。

如果一个仿射变换应用于B样条曲线，得到的结果可以从它的控制点的仿射像构建得到。

几何不变性

由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。

直线保持性

控制多边形退化为一条直线时曲线也退化为一条直线

习题

1️⃣ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

2️⃣ 一条以P0,P1,P2,P3,P4为控制顶点的4阶(三次)B样条曲线，其节点向量为{0,0,0,1,2,3,4,4, 4},则其定义域为?

3️⃣ 由五个控制顶点所决定的3次B样条曲线，由几段3次B样条曲线段光滑连接而成？

定义域是$[t3,t5]$，有两段连接

4️⃣ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间$[t5,t9)\in [t3,t10]$上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

De Door算法（了解）

de Boor 算法的递推关系如图

三次B样条的Bezier表示（了解）

节点插入算法

进一步改善B样条曲线的局部性质，提高曲线的形状控制的灵活性，可实现对曲线的分割等

给定一条k阶B样条曲线$P(t)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}P_i N_{i,k}(t) $，B样条基由节点矢量$T={[t_0,t_1,…,t_{n+k}]}$完全决定

插入一个节点

在定义域某个节点区间$[t_i,t_{i+1}]$内插入一个节点t，得到新的节点矢量：$T^1=[t_0,t_1,...,t_i,t,t_{i+1},...,t_{n+k}]$

重新编号成为：$T^1=[t_0^1,t_1^1,...,t_i^1,t_{i+1}^1,t_{i+2}^1,...,t_{n+k+1}^1]$

新节点矢量T1决定了一组新B样条基$N_{i,k}^1(t),i=0,1,...,n+1$。原始的曲线可用这组新的B样条基与未知新顶点 $P_i^1$表示

未知新顶点的计算公式(Boehm)

算法过程

B样条曲线的优点

优点：

可以是贝塞尔曲线；满足贝塞尔曲线有的所有重要性质；提供了比贝塞尔曲线更灵活的控制

曲线的次数与控制点数目是分开的，可使用更低次曲线而仍然保持很多控制点；

可以改变一个控制点位置而不会全局地改变整个曲线形状；

还有其他设计和编辑形状的技术比如改变节点。

B样条曲线仍然是多项式曲线，而多项式曲线不能表示许多有用的简单的曲线比如圆和椭圆。

B样条曲面