线性代数知识点整理

目录

前言

一.行列式

1.行列式求值

2.七大性质

3.特殊行列式的值

二.矩阵及其运算

  1.行列向量:

  2.可逆矩阵:

  3.常用性质:

4.伴随矩阵:

三.矩阵的初等变换和线性方程组

1.初等变换:

2.矩阵的秩:定义,特性,求秩

3.齐次与非齐次线性方程组

①两者区别

②表达式不同:

③增广矩阵

④两种方程组的解

⑤最简行/列阶梯矩阵:

4.等价矩阵:

四.向量组的线性相关性

1.线性表示:

2.线性相关性判断:

3.解的情况

五.相似矩阵以及二次型

1.特征值和特征向量的定义

2.特征值和特征向量的求解

3.特征值和特征向量的性质

4.矩阵的相似对角化

5.特征分解和对角矩阵

6.二次化标准型


前言

        为了更好的学习深度学习的相关内容,笔者重新整理了线性代数的主要内容,并以知识点摘要的形式对各部分进行了总结,留待之后进行相关概念的快速复习。


一.行列式

1.行列式求值

参考行列式求值

2.七大性质线性代数知识点整理_第1张图片

 

3.特殊行列式的值线性代数知识点整理_第2张图片

 

二.矩阵及其运算

  1.行列向量:

在线性代数中,列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。

  2.可逆矩阵:

矩阵A为n阶方阵,若存在n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位阵,则称A为可逆阵,B为A的逆矩阵。 若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或非奇异矩阵,且其逆矩阵唯一。 A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0(方阵A的行列式不等于0)。A 的秩等于n(A 满秩)。

  3.常用性质:线性代数知识点整理_第3张图片

 

4.伴随矩阵:线性代数知识点整理_第4张图片

 

三.矩阵的初等变换和线性方程组

1.初等变换:

单位矩阵通过三种变换形式得到的矩阵叫做初等矩阵

①行间或列间互换②行或列乘k倍③某行加上另一行的k倍(列也如此)线性代数知识点整理_第5张图片

 线性代数知识点整理_第6张图片

 

2.矩阵的秩:定义,特性,求秩

细致内容参考矩阵的秩,重点强调:可逆矩阵是满秩矩阵线性代数知识点整理_第7张图片

 

3.齐次与非齐次线性方程组

①两者区别

齐次线性方程组的常数项全部为零,非齐次方程组的常数项不全为零

②表达式不同:

齐次线性方程组表达式 :Ax=0;非齐次方程组程度常数项不全为零: Ax=b。A称为系数矩阵,等号右边是常数项。

③增广矩阵

又称 广置矩阵 ,是在 线性代数中系数矩阵A的右边添上线性方程组等号右边的常数列得到的矩阵,用矩阵(A|B)表示线性代数知识点整理_第8张图片

 

④两种方程组的解线性代数知识点整理_第9张图片

 

⑤最简行/列阶梯矩阵:

1.只能行变换 2.化简时,从左上角第一个非零元素开始,其下元素需全部化为零,再找阶梯下一个元素,其下元素化为零 3.行阶梯接着可化为行最简,阶梯每行左起第一个元素为1 4.行变换只能化为行最简,列一样

因此,不能交叉使用两种变换得到一种最简矩阵

4.等价矩阵:

在线性代数和矩阵论中,有两个m×n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=QAP(P是n×n阶可逆矩阵,Q是m×m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等价关系。 也就是说,存在可逆矩阵(P、Q),使得A经过有限次的初等变换得到B。

四.向量组的线性相关性

1.线性表示:

对于两个向量组:两个向量组A、B,若A组中每一个向量都可以由向量组B线性表示,则称向量组A可由向量组B线性表示。(向量b能由向量组X线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,B))

系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换

2.线性相关性判断:

定义由第一种方法给出,A向量组的构成元素ai都是向量

初等行变换不改变列向量的线性相关性,也不改变行向量的线性相关性。线性代数知识点整理_第10张图片

 

3.解的情况线性代数知识点整理_第11张图片

 

五.相似矩阵以及二次型

只有方阵具有特征值与特征向量,不同特征值所对应的特征向量之间线性无关

形象的例子:如果把矩阵看作运动的话,那么

  • 特征值就是运动的速度

  • 特征向量是运动的方向

1.特征值和特征向量的定义

实数λ为特征值,向量p为特征向量线性代数知识点整理_第12张图片

 

2.特征值和特征向量的求解线性代数知识点整理_第13张图片

 

 

3.特征值和特征向量的性质线性代数知识点整理_第14张图片

 

4.矩阵的相似对角化

存在可逆矩阵P使得矩阵A满足P-1 A P =A的对角矩阵(尖符号),则A称为可以相似对角化线性代数知识点整理_第15张图片

 

5.特征分解和对角矩阵线性代数知识点整理_第16张图片

 

6.二次化标准型

考虑到对于深度学习来说,此部分不太重要,暂时进行了略过,留待后日补充。线性代数知识点整理_第17张图片

 

你可能感兴趣的:(线性代数)