【矩阵论-20220919（1.1）——数域、线性空间定义和基本性质】

矩阵论

数域

P是一个数集，包含0,1，且任意一个数b∈p，其加减乘数运算后的结果仍属于P，则称P为数域。
换而言之，数域是包含0,1 ，且对四种运算封闭的。

线性空间

线性空间V是个非空集合，并且定义了加法和数乘两种代数运算：（定义的加法和数量乘法，是定义的，可以不是常规的+。可以自行定义）
（其中，α、β、γ∈V，k、l∈P）
加法：任意的α、β∈V，α+β ∈V;
数量乘法：任意的α属于V，k∈P（数域），kα ∈ V。
即，线性空间对加法和数量乘法封闭。
其次，线性空间还要满足8个运算:

加法运算：
（1）α + β = β +α；
（2）（α + β）+γ = α +（β + γ）；
（3）V中元素0，使得任意的 α + 0 =α。（因此，把具有这种性质的元素称为V的0向量或零元素。）**ps：**具有这种性质的元素，也可以不是0。不是0，但是具有这种性质也是0元素。之所以会造成这种情况，取决于你之间所定义的加法和数量乘法的不同（不是常规的+）。
（4）对于每个α∈V，均有β∈ V，使得α + β =0。称β为α的负向量，记为-α。

（5）1*α =α；
（6）（k+l）α =k（lα）；

（7）k（α+β） = kα +kβ；
（8）（k+l）α =kα + lα；

零空间

是复线性空间。

线性空间性质（4）

（1）V中只有一个零向量；
（2）V中的每一个向量只有一个负向量；
（3）0α =0，k0=0，（-1）α = -α；
（4）若kα = 0，则k = 0,或 α = 0 。