三维坐标系旋转矩阵推导

• 注意坐标系旋转不同于坐标点旋转
• 坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ

1.三维坐标系推导过程

假设三维坐标系是一个右手坐标系。如下图

可以通过右手定则确定是右手坐标系。
确定轴的旋转的正方向，用右手的大拇指指向轴的正方向，弯曲手指手指。手指方向即是轴的正旋转方向。

2.坐标轴绕z轴旋转

坐标轴绕z轴正向旋转相当于op向量在xoy平面上顺时针旋转：

则可以推导出

其中M’坐标(x’,y’,z’）；M坐标(x,y,z)

3.绕X轴旋转

同理绕X轴正向旋转相当于如下图的向量旋转。

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos(\theta )& sin(\theta )\\ 0& -sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

4. 绕Y轴旋转

绕Y轴正向旋转相当于下图

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos(\theta )& 0& -sin(\theta )\\ 0& 1& 0\\ sin(\theta )& 0& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

5.绕X,Y,Z轴正向旋转

绕X,Y,Z轴，坐标系正向旋转，所需要的旋转矩阵是