Games101 作业5 求解一元二次方程

Games101 作业5 易惑点1

求解一元二次方程

在Games101 Ray Tracing的第一份作业中，源码中有一段计算一元二次方程的代码，与数学中的常见求根公式略有不同，这里做一些解释，以方便有类似疑惑的童鞋参考理解：

bool solveQuadratic(const float &a, const float &b, const float &c, float &x0, float &x1)
{
    float discr = b * b - 4 * a * c;
    if (discr < 0) return false;
    else if (discr == 0) x0 = x1 = - 0.5 * b / a;
    else {
        float q = (b > 0) ?
            -0.5 * (b + sqrt(discr)) :
            -0.5 * (b - sqrt(discr));
        x0 = q / a;
        x1 = c / q;
    }
    if (x0 > x1) std::swap(x0, x1);
    return true;
}

求解一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$，数学上定义其求根公式为：

1. 计算$\Delta =b^2-4ac$
2. 若$\Delta >0$，则存在两个根:$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
3. 若$\Delta =0$，则存在一个根:$x=\frac{-b}{2a}$
4. 若$\Delta <0$，则不存在根

而代码中的解法则略有不同，原因在于Catastrophic cancellation，具体原理现成资料比较多，不重复造轮子，可以参考：
1. PBRT-E3.9-计算误差的分析与管理（一）
2. 关于 C++ 编程的一道题Milo Yip解答
简单来说，就是因为float浮点数存在误差，在一些特殊的情况下，误差会较大，例如两个float a,b数值相近时，则a-b的误差会较大，a+b的误差较小，那么若求根公式中$b$与$\Delta$相近，则其中一个根就会产生较大误差(上述链接2中Milo Yip就做了详细解答)，那么为了避免产生误差，就会计算其中一个误差小的根$x_1$，再根据韦达定理 $$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$来计算另一个未知根$x_2$。那么求$x_1$时采用$+$还是$-$呢？

• $\Delta >0$时取决于$b$的正负性：
  1. 当b<=0时，设$q=\frac{-b+\Delta }{2}$，则$x_1=\frac{q}{a}$，根据韦达定理计算$x_2=\frac{\frac{c}{a}}{\frac{q}{a}}=\frac{c}{q}$
  2. 当b>0时，设$q=\frac{-b-\Delta }{2}$，则$x_1=\frac{q}{a}$，根据韦达定理计算$x_2=\frac{\frac{c}{a}}{\frac{q}{a}}=\frac{c}{q}$
• $\Delta =0$时，则$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

最后，通过swap确保$x_1<x_2$，由上则于代码完成对应。