三、函数极限

一、函数极限的概念

1.1 $x$趋于$\infty$时函数的极限

定义1：

设$f$为定义在$[a,+\infty )$上的函数，$A$为定数。若对任给的$ϵ>0$，存在正数$M(\ge a)$，使得当$x>M$时，有：

$$|f(x)-A|<ϵ$$

则称函数$f$当$x$趋于$+\infty$时以$A$为极限，记作：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to +\infty )$$

1.2 $x$趋于$x_0$时函数的极限

定义2

设函数$f$在点$x_0$的某个空心邻域$U^{\circ }(x_0;{\delta }^{\prime })$内有定义，$A$为定数，若对任意给定的$ϵ>0$，存在正数$\delta (<{\delta }^{\prime })$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有：

$$|f(x)-A|<ϵ$$

则称函数$f$当$x$趋于$x_0$时以$A$为极限，记作：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to x_0)$$

二、函数极限的性质

定理3.2（唯一性）

若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，则此极限是唯一的。

定理3.7（四则运算法则）

若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$与$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$都存在，则函数$f\pm g,f\cdot g$当$x\to x_0$时极限也存在，且：

1. $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)g(x)]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$
3. 若$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\ne 0$，则$f/g$当$x\to x_0$时极限存在，且有：$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}$