三角函数和欧拉公式

三角函数

先回顾下Cosine 和 Sine 函数定义。先给定一个单位圆(半径是1)的点 $C$，x轴正方向逆时针到那个点的角度为$\theta$

• $\cos \theta$ 是那个点 $x$轴的坐标
• $\sin \theta$ 是那个点 $y$轴的坐标
  如下图所示：
  
  点$C$的坐标是$(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$
  根据勾股定理，$x^2+y^2=1$, 所以
  $${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

其他公式：
$$\begin{array}{rl}\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\\ \sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& =\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2\end{array}$$

复数

简单回顾一下复数。一个复数$z$是由两部分组成，实部 和 虚部。
$$z=a+bia,b\in \mathbb{R},i^2=-1$$
其中，$a,b$都是实数，$a$是实部，$b$是虚部。$i$是虚数单位 （$i^2=-1,i=\sqrt{-1}$）。
实部是横向轴，虚部是纵向轴，这样一个复数就可以放到2维坐标平面上了。

例如$3+4i$

将实部和虚部从复数提取出来, $\Re (z)$ 实部， $\Im (z)$ 虚部
$$\begin{array}{rl}\Re (z)& =\frac{1}{2}(z+\bar{z})\\ \Im (z)& =\frac{1}{2i}(z-\bar{z})\end{array}$$

我们可以将第一小节中三角函数放到复平面中来
$$\cos \theta +i\sin \theta$$

横轴是$\cos \theta$，纵轴是坐标是 $\sin \theta$

复数一些运算

两个复数加减

$$\begin{gathered} z_1=a_1+b_{1}i \\ {z}_2=a_2+b_{2}i \end{gathered}$$
$$z_1\pm z_2=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)i$$

乘以一个标量$\alpha$

$$\alpha (a+bi)=\alpha a+\alpha bi$$

复数的乘积

$$\begin{gathered} z_1=a_1+b_{1}i \\ {z}_2=a_2+b_{2}i \end{gathered}$$
他们的乘积是
$$\begin{array}{rl}{z}_1{z}_2& =(a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)\\ & =a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+b_1{a}_{2}i+b_1{b}_2{i}^2\\ & =(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+b_1{a}_2)i\end{array}$$
根据乘积公式，$z^2=(a^2-b^2)+2abi$

复数的范数(Norm)

$$z=a+bi$$
那么$z$的范数
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

共轭复数

$$z=a+bi$$
复数$z$的共轭复数$\bar{z}$
$$\bar{z}=a-bi$$
$z$和$\bar{z}$ 的虚部的符号是相反的。

$$z\bar{z}=a^2-b^2=|z{|}^2$$

两个复数的商的简化

$$\begin{gathered} z_1=a_1+b_{1}i \\ {z}_2=a_2+b_{2}i \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{z_1}{z_2}& =\frac{a_1+b_{1}i}{a_2+b_{2}i}\\ & =\frac{(a_1+b_{1}i(a_2-b_{2}i)}{(a_2+b_{2}i)(a_2-b_{2}i)}\\ & =\frac{a_1{a}_2-a_1{b}_{2}i+a_2{b}_{1}i-b_1{b}_2{i}^2}{{a_2}^2+{b_2}^2}\\ & =\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{{a_2}^2+{b_2}^2}+\frac{b_1{a}_2-a_1{b}_2}{{a_2}^2+{b_2}^2}i\end{array}$$

复数的逆

$$z^{-1}=\frac{1}{z}$$

$$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}$$
因为$z\bar{z}=|z{|}^2$所以
$$\begin{array}{rl}{z}^{-1}& =\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}\\ & =\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i\end{array}$$

欧拉公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
它的共轭复数
$$\overline{e^{i\theta }}=\cos \theta -i\sin \theta =e^{-i\theta }$$
根据提取实部和虚部公式可以得到
$$\Re (e^{i\theta })=\cos \theta =\frac{1}{2}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })\Im (e^{i\theta })=\sin \theta =\frac{1}{2i}(e^{i\theta }-e^{-i\theta })$$

当$\theta =\pi$
$$e^{i\pi }=-1$$
($\cos \pi =-1,\sin \pi =0$)

当$\theta =\frac{\pi }{2}$
$$e^{i\pi /2}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$$

$$\begin{array}{rl}{i}^i& =(e^{i\pi /2}{)}^i\\ & =e^{i^2\pi /2}\\ & =e^{-\pi /2}\end{array}$$

其他表示$e$指数函数的方法
$$e^x=\exp (x)$$

对于任意复数$z=a+bi$, 它的$e$指数函数
$$\exp (a+bi)=\exp (a)\exp (ib)=\exp (a)(\cos b+i\sin b)$$

$e^{i\theta }$ 和 幂级数展开

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$$

$$\cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+...$$
并且
$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+...$$

将$x=i\theta$带入$e$幂级数展开
$$e^{i\theta }=1+i\theta -\frac{{\theta }^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+...$$

欧拉公式应用

三角函数公式

$$\begin{array}{rl}\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& =\Re (e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)})\\ & =\Re (e^{i{\theta }_1}{e}^{i{\theta }_2})\\ & =\Re ((\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2))\\ & =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\end{array}$$
两外
$$\begin{array}{rl}\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& =\Im (e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)})\\ & =\Im (e^{i{\theta }_2}{e}^{i{\theta }_2})\\ & =\Im ((\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2))\\ & =\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2\end{array}$$

极坐标

$z=a+bi$

半径$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta$ 是 从实轴到线之间的夹角, $\arg (z)=\theta$
其中
$$\tan \theta =\frac{b}{a}$$

$$\begin{array}{rl}z& =a+bi\\ & =r(\cos \theta +i\sin \theta )\end{array}$$
使用欧拉公式得到
$$z=r{e}^{i\theta }$$

两个复数
$$\begin{gathered} z=r{e}^{i\theta } \\ w=s{e}^{i\varphi } \end{gathered}$$

乘积
$$\begin{array}{rl}zw& =r{e}^{i\theta }s{e}^{i\varphi }\\ & =rs{e}^{i(\theta +\varphi )}\\ & =rs(\cos (\theta +\varphi )+i\sin (\theta +\varphi ))\end{array}$$

所以乘积的范数
$$|zw|=rs$$
夹角
$$\arg (zw)=\theta +\varphi$$
所以两个复数乘积，夹角相加。

两个复数相除
$$\begin{array}{rl}\frac{z}{w}& =\frac{r{e}^{i\theta }}{s{e}^{i\varphi }}\\ & =\frac{r}{s}{e}^{i(\theta -\varphi )}\\ & =\frac{r}{s}(\cos (\theta -\varphi )+i\sin (\theta -\varphi ))\end{array}$$
范数是
$$|\frac{z}{w}|=\frac{r}{s}$$
夹角是
$$\arg (\frac{z}{w})=\theta -\varphi$$
所以两个复数相除，夹角相减。

旋转算子 (Rotors)

两个复数
$$\begin{gathered} z=r{e}^{i\theta } \\ w=s{e}^{i\varphi } \end{gathered}$$
当$r=w=1$的时候，两个复数范数都为1. 这样的复数就可以作为旋转算子(Rotor)。

旋转算子 ${\mathbf{R}}_{\theta }$和共轭复数 ${\mathbf{R}}_{\theta }^{†}$:
$$\begin{gathered} {\mathbf{R}}_{\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \\ {\mathbf{R}}_{\theta }^{†}=\cos \theta -i\sin \theta \end{gathered}$$
其中${\mathbf{R}}_{\theta }$旋转$+\theta$, ${\mathbf{R}}_{\theta }^{†}$旋转$-\theta$。

假定一个复数$x+yi$, 普通平面坐标$(x,y)$, 角度 $\theta$, 旋转算子${\mathbf{R}}_{\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }+y^{\prime }i& =(\cos \theta +i\sin \theta )(x+yi)\\ & =x\cos \theta -y\sin \theta +i(x\sin \theta +y\cos \theta )\end{array}$$
平面坐标：
$(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$

同理${\mathbf{R}}_{\theta }^{†}$
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }+y^{\prime }i& =(\cos \theta -i\sin \theta )(x+yi)\\ & =x\cos \theta +y\sin \theta -i(x\sin \theta +y\cos \theta )\end{array}$$
平面坐标：
$(x\cos \theta +y\sin \theta ,-(x\sin \theta +y\cos \theta ))$

参考资料

• Mathologer, https://youtu.be/qS4H6PEcCCA
• https://byjus.com/eulers-formula/
• Quaternions for Computer Graphics
• Euler’s Formula and Trigonometry