经典数学证明：pi^2是无理数

Proofs from THE BOOK的第六章相当精彩，这一章循序渐进地介绍了多个无理性证明。先证明e是无理数，证明方法和高数课本上的基本相同；试图用类似的办法证明e^2也是无理数时，这一章的内容开始牛B了起来，一些巧妙的变换就让原来的办法继续适用于e^2的证明；加上一些更有趣的技巧，我们还能继续证明e^4也是无理数；当证明对除0外的所有有理数r，e^r都是无理数时，全章达到了高潮。

    这一章还提到了pi^2是无理数的证明方法。这个证明建立在Ivan Niven于1947年提出的“pi是无理数”的经典证明的基础上：仅仅是在原证明过程中加了一些微妙的变化就得到了pi^2也是无理数的结论。注意到，“pi^2是无理数”是一个比“pi是无理数”更强的结论。由于有理数的平方还是有理数，因此证到了pi^2是无理数也就说明了pi必然是无理数；但反过来却不行，因为无理数的平方不一定也是无理数，比如根号2的平方就不是无理数。

    证明过程用到了一个函数，其中n是一个任取的大于等于1的常数。可以想像，这个函数的分子部分展开后是一个关于x的整系数多项式，最低次数为n，最高次数为2n。我们将用到这个函数的两个性质：首先，当0<x<1时，显然有0 < f(x) < 1/n!；其次，函数f及其任意阶导数在x=0和x=1处都是整数。为了证明后一个结论，首先注意到当x=0时，不管是多少阶的导数，除了常数项以外其余项都是0；常数项只可能在n<=k<=2n时出现（k表示k阶导数），但此时它等于一个整系数乘以k!/n!，显然也是个整数。另外，由于f(x)=f(1-x)，根据复合函数的微分法我们立即得到对任意x都成立，当然也就有。

    下面我们用反证法来证明，pi^2不是有理数。先假设pi^2=a/b，然后我们将推出一个荒谬的结论。定义函数
      

    这个函数有一个有趣的性质：
      

    由于
      （最后一步依据我们的假设）

    定义一个数N，于是有
      

    而由前面的引理，F(0)和F(1)里的每一项都是整数（由于假设pi^2=a/b，所有的pi都和外面的b^n相乘化整了），因此N=F(0)+F(1)也是整数。
    但是当x∈(0,1)时，被积函数是恒正的，并且根据前面的引理f(x)始终是小于1/n!的。于是有
      

    我们的n是可以任取的，显然n可以足够大以使得(pi*a^n)/n!<1，此时0<N<1，这与N是整数矛盾。