图论学习笔记（一） 图

前言：参考教材：《集合论与图论》第三版 屈婉玲，刘捍贫，刘田

第七章 图

7.1 图的基本概念

无向图：有序二元组G=，其中V≠∅称为G的顶点集，可记为V(G)，E称为边集，可记为E(G)，它是无序积V&V的多重子集（vi到vj可以连多条边），其元素称为无向边

有向图：有序二元组D=，其中V≠∅称为D的顶点集，可记为V(D)，E称为边集，可记为E(D)，它是有序积V×V的多重子集（vi到vj可以连多条边），其元素称为有向边

阶数：如果一个图有n个顶点，就记其为n阶图，如果阶数有限则称为有限图，本课程只研究有限图

零图：边集为空的图，如果有n个顶点就称为n阶零图，记为N_n

平凡图：1阶零图（N_1）

空图：在图的运算过程中可能产生顶点数为0的图，记为空图，但空图不是图

标定图：如果一个图的顶点或边标出了字母，则称为标定图，否则若均未标记字母则称为非标定图

基图：将有向图D各有向边的指向去掉造成的无向图

关联：在无向图中，若e_k=(v_i , v_j)，则称v_i和e_k；v_j和e_k相互关联，e_k与v_i/j的关联次数为1

环：在无向图中，特别地，如果v_i=v_j，则称e_k与v_i的关联次数为2，并且即e_k为环

孤立点：在有/无向图中，均称无边关联的顶点为孤立点

相邻：在无向图中，若e_k=(v_i , v_j)，则称v_i和v_j相互相邻；若e_k和e_l至少有一个公共端点，也称其相互相邻

邻接：在有向图中，若e_k=，则称v_i邻接到v_j，v_j邻接于v_i

邻域/闭邻域/关联集：对无向图G，对任意的v∈V(G)

v的邻域记为N_G(v)={u|u∈V(G),(u,v)∈E(G),u≠v}，v的闭邻域记为上划线（N_G(v)）=N_G(v)∪{v}

v的关联集记为I_G(v)={e|e与v关联}

对有向图G，对任意的v∈V(G)

v的后继元集记为Γ+D(v)={u|u∈V(D),(u,v)∈E(D),u≠v}，v的先驱元集记为Γ-D(v)={u|u∈V(D),(u,v)∈E(D),u≠v}，v的邻域记为N_G(v)=Γ+D(v)∪Γ-D(v)，v的闭邻域记为上划线（N_G(v)）=N_G(v)∪{v}

重数：设G为一个无向图，{e_i|i∈E(G)}，若其均为(v_i,v_j)，则称其为一组平行边，元素个数为边(v_i,v_j)的重数；有向图中根据可以类似地定义平行边

简单图/多重图：含平行边的图/不含平行边也不含环的有/无向图

度数：无向图中，d(v)=v在G中作为边的端点的次数之和；有向图中，d+(v)=v在G中作为边的始点的次数之和；d-(v)=v在G中作为边的终点的次数之和，d(v)=d+(v)+d-(v)

最大度/最小度：在无向图G中，所有边的度数中最大的记为Δ(G)，最小的记为δ(G)；在有向图G中，所有边的出度中最大的记为Δ+(G)，最小的记为δ+(G)，入度中最大的记为Δ-(G)，最小的记为δ-(G)

Theorem：握手定理：在无向图中，Σd(v_i)=2|E(G)|；在有向图中，Σd+(v_i)=|E(G)|，Σd-(v_i)=|E(G)|，Σd(v_i)=2|E(G)|

Corollary：在任意图中，奇度顶点的个数为偶数

度数列：V={v_1,v_2,…,v_n}，则称{d(v_1),d(v_2),…,d(v_n)}为V的度数列，反之，对于整数列d=(d_1,d_2,…,d_n)，若存在n阶图G以其为度数列，则称d是可图化的；特别的，若存在n阶简单图G以其为度数列，则称d是可简单图化的

Theorem：d=(d_1,d_2,…,d_n)可图化当且仅当d_1+d_2+…+d_n=0(mod 2)

Theorem：度数列d=(d_1,d_2,…,d_n)，d_1≥d_2≥…≥d_n是可简单图化的，当且仅当d=(d_2-1,d_3-1,…d(d_1)-1,d(d_1+1),…,d_n)是可简单图化的

同构：两个无/有向图G_1,G_2称为同构，若存在一个点对点双射恰好也是边对边的双射，同构关系是一个等价关系

一些重要的特殊图：

​ 彼得森图：10个顶点，没有2，3圈的3-正则图

​ 完全图：G为n阶无向完全图，若G为简单图且每个顶点均与另外(n-1)个顶点相邻；D为n阶有向完全图，若D为简单图且每两个互异顶点之间均有一条边，记为K_n

​ 竞赛图：有向图D为竞赛图，若D为简单图且每两个互异顶点v_i和v_j之间恰有一条边（和之一）

​ k-正则图：若G为简单无向图，且对任一个顶点v，d(v)=k，则称G为k-正则图

​ 柏拉图图：正4，6，8，12，20面体的顶点和棱构成的图

​ r部图：如果无向图G=能分解成r个互不相交的子集V_1,V_2,…,V_r，使G中任意边的两个端点不在同一个子集里面，则称其为r部图，记为G=，显然，如果一个图是k部图，则一定是k+部图

​ 偶图：特别地，2部图称为偶图

​ 完全r部图：任意两个不同部的顶点之间均有一条边，记为K_{r_1,r_2,…,r_n}

子图：如果G_1和G_2同为无向图/有向图，并且G_1的顶点集和边集都包含于G_2，则称G_1是G_2的子图，G_2是G_1的母图

真子图：如果G_1是G_2的子图且G_1不等于G_2，则称G_1是G_2的真子图；如果V_1=V_2，则称G_1是G_2的生成子图

导出子图：如果有/无向图G=中，取顶点集V_1非空且V_1为V的真子集，则以V_1和G中两个端点都在V_1中的边组成的子图G_1称为G的V_1导出的子图，记为G[V_1]；如果取边集E_1非空且E_1为E的真子集，则以E_1和G中与E_1中的边相关联的顶点构成的点集组成的子图G_1称为G的E_1导出的子图，记为G[E_1]

补图：设G=为n阶简单图，则以V为顶点集，加入后使得G成为n阶完全图的图G_1称为G的补图，记为上划线（G），如果G和G的补图同构，则称为自补图

图的运算：

​ 删除：在无向图G=中，从边集E中删除一条边e称为删除e，记为G-e，删除边集E’称为删除E‘，记为G-E’；删除点v和其一切关联边称为删除v，记为G-v，删除点集V‘称为删除V‘，记为G-V’

​ 收缩：在无向图G中删除e=(u,v)并且将u,v替换为新的顶点w，w和一切u,v曾经关联的边关联，称为边e的收缩，记为G\e（如果原来u,v均和某个顶点h连边，则在收缩之后w和h连两条边）

​ 加新边：G∪(u,v)表示在图G中u,v之间加一条边

​ （注：简单图在收缩/加新边的运算后可能变成非简单图）

​ 不交：如果图G_1和G_2的顶点集无重，则称为不交；如果边集无重，则称为边不交

​ 并/交/差图/环和：G_1=,G_2=均为无孤立点的图，则称以E_1∪E_2为边集，其关联点集（由于无孤立点，因此为V_1∪V_2）为顶点集的图为G_1和G_2的并图，记为G_1∪G_2；称以E_1∩E_2为边集，其关联点集为顶点集的图为G_1和G_2的交图，记为G_1∩G_2；以E_1-E_2为边集，其关联点集为顶点集的图为G_1和G_2的差图，记为G_1-G_2；以E_1⊕E_2为边集，其关联点集为顶点集的图为G_1和G_2的环和，记为G_1⊕G_2（注：根据这种定义方式，并/交/差图/环和运算得到的图必定为连通图（无孤立点图））

​ 联图：若G_1和G_2不交，则以V_1并V_2为顶点集，所有边并上V_1和V_2中任意两点之间的边的图称为G_1和G_2的联图，记为G_1+G_2（则：N_r+N_s=K_{r,s}）

​ 积图：以V=V_1×V_2（笛卡尔积）为顶点集，与连边当且仅当v_1=v_3,v_2与v_4相邻或v_2=v_4,v_1与v_3相邻的图为G_1和G_2的积图，记为G_1×G_2

7.2通路与回路

通路：G为无向标定图，G中顶点和边的交替序列Γ=vi0ej1vi1ej2…ejlvil称为顶点v_i0到顶点v_il的通路，其中l称为Γ的长度，v_i0和v_il称为Γ的始点和终点，若相等，则称其为回路（特别的，v_0是从v_0到v_0的长度为0的通路）

简单通路/回路：如果Γ中所有边互异，则称为简单通路，特别的，首尾相同的是简单回路

复杂通路/回路：Γ中有边重复出现/并且Γ为回路

路径/圈（初级通路/回路）：如果Γ中除了始点和终点以外所有顶点各异（则所有边各异），则称Γ为一条路径（初级通路），若Γ是回路，则称Γ为圈（初级回路）；长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈

周长/围长：在含圈无向简单图G中，称G中最长圈的长度为G的周长；称G中最短圈的长度为G的围长，记为g(G)，例如，g(K_n)=3，g(K_m,n)=4

Theorem：扩大路径法：在证明中经常使用到图G中极大的路径，则其始点和终点的邻边集包含在路径中

7.3无向图的连通性

连通：对于无向图G，任意的u,v，若u,v之间存在通路，则称u,v连通，u_{v，并且规定对任意u，u}u

则：连通关系是一个等价关系

连通图：如果无向图G中任意两个顶点都是连通的，则称这个图为连通图；否则成为非连通图

连通分支：无向图G的顶点集关于连通关系的商集若为{V_1,V_2,…,V_k}，则称G[V_i]（导出子图）为G的连通分支，连通分支数k记为p(G)

距离：若无向图G中顶点u,v连通，则称u,v之间长度最短的通路为u,v之间的短程线，短程线的长度称为u,v之间的距离，记为d(u,v)；若不连通，规定d(u,v)=无穷大

直径：记d(G)=max{d(u,v)}，显然，非连通图的直径均为无穷大

Theorem：一个图G为二部图当且仅当G中没有奇圈

Proof：不妨设G为连通图，对任一个顶点v，取V_1={d(u,v)为奇数}，V_2={d(u,v)为偶数}即可

Theorem：如果G为n阶无向图，则G连通=>G中边数m≥n-1

7.4 无向图的连通程度

点割集：对于无向图G，如果V‘是极小的使得p(G-V’)>p(G)的点集，则称V’为G的点割集；若V’={v}，则称为割点

边割集：对于无向图G，如果E‘是极小的使得p(G-E’)>p(G)的边集，则称E’为G的边割集；若E’={e}，则称为桥

（注：显然在图中去边是相对“温和”的手段，因为去一条边最多增加一个连通分支，因此事实上边割集可以定义为p(G-E’)=p(G)+1）

扇形割集：对于无向图G，如果某个G的边割集E’属于某个顶点的关联集，则称其为v产生的扇形割集

（注：显然，如果v不是割点，则I_G(v)是扇形割集）

（点）连通度：若G为无向连通图且不含K_n为生成子图（否则不存在点割集），则称κ(G)=min{|V’||V’为G的点割集}为G的点连通度；规定含K_n为生成子图的图的连通度为n-1，非连通图的点连通度为0；若κ(G)≥k，则称G为k-连通图（k连通不一定连通度为k）

边连通度：若G为无向连通图，则称λ(G)=min{|E’||E’为G的边割集}为G的边连通度，规定非连通图的边连通度为0；若λ(G)≥k，则称G为k-边连通图

Theorem：（Whitney）：对于任意的无向图G，κ≤λ≤δ

Proof：使用去掉E‘的一端点的方法证明κ≤λ；注意到任意的I_G(v)必然包含一个割集，即证λ≤δ

Corollary：如果G为k-连通图，则为k-边连通图

Theorem：关于κ,λ,δ的一系列定理（G均为简单连通无向图）

​ 1.G为n(n≥6)阶，如果δ(G)≥[n/2]，则λ(G)=δ(G)

​ 2.若对G中任一对不相邻的顶点u,v，均有d(u)+d(v)≥n-1，则λ(G)=δ(G)

​ 3.若d(G)≤2，则λ(G)=δ(G)

​ Proof：反证：假设λ(G)<Δ(G)，将两个连通分支扩张为完全图之后进行分析

​ 4若G不是完全图，则κ(G)≥2δ(G)-n+2

​ Proof：考虑去掉最小点割集后得到的连通分支带来的性质

​ 5.对于给定的正整数n,κ,λ,δ，存在n阶简单连通无向图G，使得δ(G)=δ，κ(G)=κ，λ(G)=λ的充要条件是：0≤κ≤λ≤δ≤[n/2]或1≤2δ-n+2≤κ≤λ=δ

​ Proof：前面两个证明中已经恰好给出了取等条件（反例）

Theorem：（Whitney）设G为n(n≥3)为n阶无向连通图，G为2-连通图当且仅当G中任意两顶点共圈（初级回路）

Proof：相当的精妙，建议自己写一下，尤其是使用条件的地方很妙

块：设G为无向连通图，若G中无割点，则称G为块；若G中有割点，则称G中成块的极大连通子图为G的块

Corollary：显然，一个图G为块当且仅当其为2-连通图，由Whitney定理知，当且仅当G中任意两点共圈或者G=K_2/平凡图

Theorem：设G为n(n≥3)阶无向图，G为2边-连通图当且仅当G中任意两顶点共简单回路

Proof：使用分块法，相当的精妙，是自己写不出来的那种

Theorem：设G为n(n≥3)阶无向简单连通图，则下列命题 等价：

（1）G是块（2）G中任意两点共圈（3）G中任意一个顶点和任意一条边共圈（4）G中任意两条边共圈（5）任给G中的两个顶点u,v和一条边e，存在u到v过e的路径（6）任给G中的两个顶点u,v和一个顶点w，存在u到v过w的路径（7）对于G中任意3个顶点u,v和一个顶点w，存在u到v不过w的路径

Proof：相当的精妙，和Whitney的证法类似

7.5 有向图的连通性

可达：有向图D中若从顶点v_i到v_j存在通路，则称v_i可达v_j，记做v_i->v_j，规定v_i->v_i；若v_i可达v_j且v_j可达v_i，则称为相互可达，记为v_i<->v_j

短程线，距离：同有向图，d

弱连通/单向连通/强连通：若有向图D的基图为连通图，则称为弱连通图；若任意v_i->v_j和v_j->v_i，至少有一个成立，则称为单向连通；若均成立，则称为强连通。显然，强连通=>单向连通，单向连通=>弱连通，但弱连通不一定单向连通（举例：v1->v2<-v3是弱连通图，但不是单向连通图）

Theorem：有向图D为强连通图当且仅当其中存在回路经过每个顶点至少一次；为单向连通图当且仅当存在通路经过每个顶点至少一次（需要引理：n阶图中必定存在一个被所有点可达的顶点；存在一个可达所有顶点的顶点）

强连通分支：有向图D中具有强连通性质的极大子图称为其强连通分支；单向连通性质的极大子图称为单向连通分支；弱连通性质的称为连通分支

习题类型：

1.使用握手定理获得顶点和边数的某些关系

2.判断某个度数列的可图化性并给出样例

3.无向简单图的一些性质

eg：如果G是无向简单图，δ(G)>3，则G中各个圈长度的最大公约数为1或2

eg：如果δ(G)≥(n-k+1)/2，则G为k-连通图