关于影响力最大化问题中贪心算法的一些理解

        在影响力最大化问题中（Influence Maximization，以下简称IM），贪心算法是最早提出的一种解决方法，并且一直沿用至今。它基于IM问题所具有的单调性（Monotonicity）和子模性（Submodularity）使用一种Hill Climbing策略，不断使用Monte Carlo模拟来寻找在当前情况下的具有最大传播范围的节点，添加至种子集合，得到最终结果，算法伪代码如下所示：

        这里算法1其实并没有使用Monte Carlo模拟，而只是使用了贪心的策略，表示在可以准确估计任意节点集S的传播范围的这种理想情况下，通过贪心策略逐步得到结果的过程。

        而在实际情况中，我们无法预先得到节点集S的真实传播范围，只能通过Monte Carlo模拟来估计它的影响范围，故真实的贪心算法如算法2所示：

其中S表示最终得到的种子集结果，k表示最终种子集的大小，R表示每次迭代中，所进行Monte Carlo模拟次数。

        Kempe[1]和Chen Wei[2]证明了贪心算法在R满足一定条件的情况下，可以达到倍最优解的效果，即

        其中是所有可能得到结果中的最优解。具体证明过程如下：

        首先，令，为大小为k的最优解，为大小为k的贪心算法1所得到的解，同时，有和。那么对于所有的i=0,1,...,k-1,有

         推导过程的前几步都很简单，重点说一下最后一步，原文中给出的注释是by repeating the above steps k times，重复上述步骤k次，之前百思不得其解，推不出来，后来想明白了，考虑

        那么以此类推k次，即可得到原式。

        在3.1式的基础上，重新排列不等式，可以得到：

         然后左右两边同时乘以，并且将i=0,1,...,k-1的所有式子相加，可得：

        即证明了，在理想情况下的贪心算法可以达到(1-1/e)倍最优解的效果下限。但是需要注意的是我们无法得到任何节点集的传播范围的真实值，只能像算法2那样使用Monte Carlo模拟得到关于真实值的估计值，那么通过估计进行的贪心算法也是有一个效果下限的：

        它的证明过程如下：

       

        总结一下，贪心算法有一个效果下限，在证明过程中，需要考虑Monte Carlo模拟是存在误差的，这个误差受Monte Carlo模拟次数R的影响，R越大，误差越小，关于这方面的内容将会在下一节进行讨论。

参考文献：

[1] D. Kempe, J. M. Kleinberg, and É. Tardos. Maximizing the spread of influence through a social network. In KDD, pages 137–146, 2003.

[2] Chen W , Lakshmanan L , Castillo C . Information and Influence Propagation in Social Networks[J]. Synthesis Lectures on Data Management, 2013, 5(4):1-177.