建模笔记1：建立数学模型

1.1 从现实对象到数学模型

现实世界被人们认识、建造、控制的对象，以它们的各种形式的模型——实物模型、照片、图表、公式、程序……汇集在人们面前。

原型和模型

原型

人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

科技领域中通常使用系统(System)、过程(Process)等词汇，如机械系统、电力系统、钢铁冶炼过程、化学反应过程等。

模型

为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。

模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。

物质模型

物理模型

科技工作者为了一丁目的根据相似原理构造的模型，不仅可以现实原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。

思维模型

通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，从而可以根据思维或直觉做出相应的决策。

符号模型

是一些在约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来的描述原型。

数学模型

是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

建立数学模型的基本内容

1.根据建立数学模型的目的和问题的北京做出必要的简化假设。

2.用字母表示待求的未知量。

3.利用相应的物理或其他规律。

4.列出数学式子。

5.求出数学上的解答。

6.用这个答案解释原问题。

7.用实际现象来验证上述结果。

一般来说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1.6 数学建模的基本方法和步骤

基本方法

一般说来，建模方法大体上可以分为机理分析和测试分析两种。

机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。（用计算方法求模型）

测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统（内部机理不明），通过对系统的输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。（用实验方法拟模型）

步骤

 1.7 数学模型的特点和分类

数学模型的特点

①逼真性和可行性 ②渐进性 ③强健性 ④可转移性 ⑤非预制性 ⑥条理性 ⑦技艺性 ⑧局限性

数学模型的分类

按照模型的应用领域分。如人口模型、交通模型、环境模型等。

按照建立模型的数学方法分。如初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型等。

按照模型的表现特性分：

确定性模型、随机性模型

取决于是否考虑随机因素的影响。近年来随着数学的发展，又有所谓的突变型模型和模糊性模型。

静态模型、动态模型

取决于是否考虑时间因素引起的变化。

线性模型、非线性模型

取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。

离散模型、连续模型

指模型中的变量（主要是时间变量）取为离散还是连续的。

按照建模目的分。如描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。

按照对模型结构的了解程度分。如白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。

白箱主要包括力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题。这方面模型大多已经基本确定。

灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。

黑箱主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理（数量关系方面）很不清楚的现象。