算法导论 第六章 思考题 6-1 用插入的方法建堆

BUILD-MAX-HEAP'(A)

    heap-size[A]<-1

    for i <- 2 to length[A]

        do MAX-HEAP-INSERT(A, A[i])

如上，题目给出一种使用插入的办法建堆的算法，而书中6.4节给出的建堆算法如下：

BUILD-MAX-HEAP（A）

    heap-size[A] <-- length[A]

    for i <-- length[A] / 2 downto 1

        do MAX-HEAPIFY[A, i]

　　可以发现元素调整的方向恰好反过来了。

     现在来考虑问题，第一问看两种方法得到的堆会不会总是一样的，答案是不会，这可以通过举例来说明：

     并不是总是一样的，考虑这样一个情况，有一个n=3的数组，其中a[1]<a[2]<a[3]，那么在用传统的建堆过程a[1]会变成a[3]的右儿子，而利用BUILD-MAX-HEAP'(A)，a[1]则会变成a[3]的左儿子，于是，建立的堆是不同的。

      第二问考虑时间复杂度。可以先参看书中6.4节证明BUILD-MAX-HEAP的时间复杂度时的情形：

      在任意高度h上，至多有n/2^(h +１)　＋ 1个节点，而max-heapify作用在高度为h的节点上的时间为O(h)，于是得到时间复杂度为：

       

        利用附录中的公式可得建堆的时间复杂度为线性时间O(n)。但是题目中提出的插入建堆方法，元素调整的方向刚好相反，也就是某高度为h的元素作用时间应该变成

O(logn - h)，这样的话，代入同样的公式中求得的时间复杂度就变成，O(nlogn)了