BZOJ 2627 JZPKIL

题目链接：http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=2627

题意：计算下面式子

思路：

A先不管。我们来搞B部分。下面说如何计算B这个最后那部分

伯努利函数：

所以

带入到B中

那个f(k)中k一旦确定x,y,k就是常数，所以就是关于n的函数。

然后这个据说说积性函数（我还没弄明白为什么）。。积性函数满足这样一个性质

这样我们计算每个质因数即可。现在我们计算g(p^s)

我们发现

所以

这样我们就计算出上面的B，即

那么还剩A，我们发现A=f(1)。

 

这样就全部搞定。这道题涉及组合数、伯努利数以及大素数的判定分解。

 

const i64 mod=1000000007;

const int N=3005;

 

 

i64 exGcd(i64 a,i64 b,i64 &x,i64 &y)

{

    i64 r,t;

    if(b==0)

   {

       x=1;

       y=0;

       return a;

   }

   r=exGcd(b,a%b,x,y);

   t=x;

   x=y;

   y=t-a/b*y;

   return r;

}

 

i64 reverse(i64 a,i64 b)

{

    i64 x,y;

    exGcd(a,b,x,y);

    if(x<0) x+=mod;

    return x;

}

 

 

int C[N][N],p[N],pInv[N],B[N],T[N][N];

int prime[N],primeNum,tag[N];

 

void init()

{

    p[0]=pInv[0]=1;

    for(int i=1;i<N;i++)

    {

        p[i]=(i64)p[i-1]*i%mod;

        pInv[i]=reverse(p[i],mod);

    }

    C[0][0]=1;

    for(int i=1;i<N;i++)

    {

        C[i][0]=C[i][i]=1;

        for(int j=1;j<i;j++)

        {

            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];

            if(C[i][j]>=mod) C[i][j]-=mod;

        }

    }

    B[0]=1;

    for(int i=1;i<N;i++)

    {

        B[i]=0;

        for(int j=0;j<i;j++)

        {

            B[i]-=(i64)C[i+1][j]*B[j]%mod;

            if(B[i]<0) B[i]+=mod;

        }

        B[i]=B[i]*reverse(C[i+1][i],mod)%mod;

    }

    for(int i=0;i<N;i++)

    {

        i64 a=reverse(i+1,mod);

        for(int j=0;j<=i;j++)

        {

            T[i][j]=a*B[j]%mod*C[i+1][j]%mod;

        }

    }

    for(int i=2;i<N;i++) if(!tag[i])

    {

        prime[primeNum++]=i;

        for(int j=i+i;j<N;j+=i) tag[j]=1;

    }

}

 

i64 Gcd(i64 x,i64 y)

{

    if(!y) return x;

    return Gcd(y,x%y);

}

 

i64 mul(i64 x,i64 y,i64 mod)

{

    i64 ans=0;

    while(y)

    {

        if(y&1)

        {

            ans+=x;

            if(ans>=mod) ans-=mod;

        }

        x<<=1;

        if(x>=mod) x-=mod;

        y>>=1;

    }

    return ans;

}

 

 

i64 myPow(i64 a,i64 b,i64 mod)

{

    i64 ans=1;

    while(b)

    {

        if(b&1) ans=mul(ans,a,mod);

        a=mul(a,a,mod);

        b>>=1;

    }

    return ans;

}

 

i64 myPow(i64 a,i64 b)

{

    a%=mod;

    i64 ans=1;

    while(b)

    {

        if(b&1)

        {

            ans*=a;

            if(ans>=mod) ans%=mod;

        }

        a*=a;

        if(a>=mod) a%=mod;

        b>>=1;

    }

    return ans;

}

 

void cal1(i64 n,int x,int y)

{

    if(0==x)

    {

        printf("%lld\n",n%mod);

        return;

    }

    i64 ans=0,p=(n+1)%mod,tmp=p;

    for(int i=y;i>=0;i--)

    {

        ans+=T[y][i]*tmp;

        ans%=mod;

        tmp=tmp*p%mod;

    }

    ans=ans*myPow(n,y)%mod;

    if(ans<0) ans+=mod;

    printf("%lld\n",ans);

}

 

i64 all[N];

int allNum;

 

int witness(i64 a,i64 n)

{

    i64 m=n-1,x,y,k=0;

    while(!(m&1)) k++,m>>=1;

    x=myPow(a,m,n);

    while(k--)

    {

        y=mul(x,x,n);

        if(1==y&&x!=1&&x!=n-1) return 1;

        x=y;

    }

    return y!=1;

}

 

int isPrime(i64 n)

{

    if(2==n) return 1;

    if(!(n&1)) return 0;

    if(1==n) return 0;

 

    int cnt=17;

    while(cnt--)

    {

        i64 a=rand()%(n-1)+1;

        if(witness(a,n)) return 0;

    }

    return 1;

}

 

 

i64 pollard(i64 n,int c)

{

    i64 x=1,y=1,d,k=2,i=1;

    while(1)

    {

        x=mul(x,x,n)+c;

        d=Gcd(abs(y-x),n);

        if(d>1&&d<n) return d;

        if(y==x) return n;

        if(++i==k) y=x,k<<=1;

    }

}

 

void split(i64 n)

{

    if(1==n) return;

    if(isPrime(n))

    {

        all[++allNum]=n;

        return;

    }

    i64 m=n;

    int c=1;

    while(m==n) m=pollard(m,++c);

    split(m);

    split(n/m);

}

 

 

struct node

{

    int primeNum;

    i64 p[N];

    int num[N];

    i64 po[N];

}A;

 

i64 pw[100][100],pw1[100];

 

i64 get(i64 i,int y)

{

    i64 tmp=1;

    for(int j=1;j<=A.primeNum;j++)

    {

        i64 S1=0,S2=0;

        i64 a=myPow(A.p[j],y);

        i64 b=myPow(A.p[j],y+1-i);

        pw1[0]=1;

        for(int k=1;k<=A.num[j];k++)

        {

            pw1[k]=pw1[k-1]*b;

            if(pw1[k]>=mod) pw1[k]%=mod;

        }

        for(int k=0;k<=A.num[j];k++)

        {

            S1+=pw[j][k]*pw1[A.num[j]-k];

            if(S1>=mod) S1%=mod;

        }

        for(int k=0;k<A.num[j];k++)

        {

            S2+=pw[j][k]*pw1[A.num[j]-k-1]%mod*a;

            if(S2>=mod) S2%=mod;

        }

        S1-=S2;

        S1%=mod;

        if(S1<0) S1+=mod;

        tmp=tmp*S1;

        if(tmp>=mod) tmp%=mod;

        tmp=tmp*myPow(A.po[j],y);

        if(tmp>=mod) tmp%=mod;

    }

    return tmp;

}

 

void cal2(i64 n,int x,int y)

{

    allNum=0;

    for(int i=0;i<primeNum;i++)

    {

        while(0==n%prime[i])

        {

            all[++allNum]=prime[i];

            n/=prime[i];

        }

    }

    if(n>1) split(n);

    sort(all+1,all+allNum+1);

    A.primeNum=1;

    A.p[1]=all[1];

    A.num[1]=1;

    A.po[1]=all[1];

    for(int i=2;i<=allNum;i++)

    {

        if(all[i]==all[i-1])

        {

            A.num[A.primeNum]++;

            A.po[A.primeNum]*=all[i];

        }

        else

        {

            A.primeNum++;

            A.p[A.primeNum]=all[i];

            A.num[A.primeNum]=1;

            A.po[A.primeNum]=all[i];

        }

    }

    for(int i=1;i<=A.primeNum;i++)

    {

        pw[i][0]=1;

        i64 a=myPow(A.p[i],x);

        for(int j=1;j<=A.num[i];j++)

        {

            pw[i][j]=pw[i][j-1]*a;

            if(pw[i][j]>=mod) pw[i][j]%=mod;

        }

    }

 

 

    i64 ans=0;

    for(int i=0;i<=y;i++)

    {

        ans+=get(i,y)*T[y][i];

        ans%=mod;

    }

    if(y>0) ans+=get(1,y),ans%=mod;

    if(ans<0) ans+=mod;

    printf("%lld\n",ans);

}

 

int main()

{

 

    init();

    int T=myInt();

    while(T--)

    {

        i64 n;

        int x,y;

        scanf("%lld%d%d",&n,&x,&y);

        if(x==y) cal1(n,x,y);

        else cal2(n,x,y);

    }

}