动态规划

在背包问题中，有三个物品如下：

物品	价格	重量
音响	$3000	4磅
笔记本电脑	$2000	3磅
吉他	$1500	1磅

现在有一个可装4磅的背包，如何去选择物品，使得背包中物品价值最大？

最简单的方法就是把物品的所有可能组合都列举出来，然后选择不超过背包容量的且价值最高的一组，但是这样有个问题就是，如果物品数量少，还可以这样去做，比如3件物品，只需要计算8个不同的组合就可以了，4件物品只需要计算16个不同的组合，当物品数量比较大，做这样的计算速度就会很慢，尽管这种方式可以找到最佳组合，却并不是解决问题的最好方式。
这时候就需要用到一个新方法，动态规划！

用动态规划来做的时候，先解决子问题，在逐步解决大问题。比如，现在的背包问题，就可以这样做：
把背包容量作为列，物品作为行，这样就形成了一个行列组成的网格，

先看第一行，表示在不同容量的背包中放入第一个物品吉他，

从网格中可以看出，如果只有一个物品吉他，那么对于不同容量的背包来说，最大价值就是吉他的价值。
现在开始第二行，放入音响，

在容量为1磅，2磅，3磅的时候，最大价值没有变化，当背包容量为4磅的时候，最大价值发生改变了。因为音响是当前最大价值的物品。
继续看第三行，放入笔记本电脑，看看会发生哪些变化？

这里3磅背包的价值发生变化了，因为笔记本电脑占用3磅，原先的吉他变成了笔记本电脑。
注意，在把笔记本电脑放4磅背包的时候，笔记本背包占用3磅，还空出1磅，这时候去找前面的1磅背包最大价值物品，也就是吉他，两个加在一起的价值是 $3500，大于原先的 $3000，所以这里放笔记本电脑和吉他。

所以，这样就得出了最终答案，装入笔记本电脑和吉他，价值最大为 $3500。
这时，如果再加入第四件物品， iPhone, $2000, 1磅，看看又会发生什么变化。

原先的2磅背包，现在放入 iPhone 时，还剩下1磅的空间，放入之前1磅背包最大价值的物品吉他，就是 $3500，大于之前的 $2000。
而3磅背包放入 iPhone后，剩下的2磅背包最大价值仍然是吉他，放入吉他后也是 $3500。
在放入4磅背包的时候，剩下3磅，而3磅背包的最大价值物品是笔记本电脑，iPhone和笔记本电脑在一起的价值是 $4000，大于之前的$3500，所以选择再放入笔记本电脑。
这样，最终放入的就是 iPhone 和笔记本电脑，最大价值为 $4000。

动态规划的流程就是这样，在动态规划时，当物品放入的顺序不同时，对结果不会产生影响。在这个过程中，最核心的就是当前容量可以放入的物品是不是只有这一件，如果是，那么这件物品就是最大价值，如果不是，查找剩余空间是否有其他物品的最大价值，如果有，就比较放入当前物品和剩余空间物品的总价值和放入这个物品之前的最大价值做比较，谁大就选择谁。

当动态规划遇到的物品比较粒度更细时，需要对列进行更细的划分，比如加入一个0.5磅重的物品，那么就要对列每隔0.5磅进行划分，再继续进行动态规划。

动态规划时，物品必须是粒度可划分的，无法对物品的一部分进行划分，也不能对物品之间有依赖进行划分。这也是动态规划无法处理的。