声明：本人刚开始接触形式化验证相关技术TLA+，该文档仅为本人以后复习之用，不保证内容的正确性。该文也是本人向大牛请教的一种形式（文章表达我的个人理解，并给出不解之处），欢迎相关大牛指点。
注：文中的英文名词是需要理解的概念，故文中保留英文以减少个人理解导致的语义误差。
翻译部分
13.1 Arithmetic
一般的数字（如2,3,4）和小数（如3.14）属于TLA+内置的符号，TLA+中标准的算数运算符已经定义在Integers模块中：
+ 加，- 减，* 乘，^ 指数
该模块还定义了如下的非等关系：
< 小于，> 大于，<= 小于等于，>= 大于等于
Integers模块还定义了如下符号：
Int 整数集，Nat 自然数集， .. 这个符号表示一个区间，例如 2..5 表示集合{2,3,4,5}
但是，Integers模块中未定义一般的除法运算符（/），因为两个数相除的结果可能不为整数，Integers模块无法处理非证书。但是，Integers模块定义了如下两个运算符：
÷ 不同于一般数学中的除法运算，该运算符的结果是两个数相除的整数部分
% 为两个数求余，即两个数相除的剩余部分（如 3 %2 = 1）
针对传统的除法运算符（/）TLA+中的Reals模块中给出了定义，然而，TLC工具无法处理/和非整数的数值。此外，TLA+中还有Naturals模块定义了自然数集，但其中不提供负号（-）。
13.2 Mathematical Logic（数学逻辑 or 数字逻辑）
刚开始的时候，数字仅仅作为修饰符（modifier）使用。人们所说的2只羊，3头猪。当其中的2和3变成名词的时候，数学家们诞生了。两个名词之间加上中间的运算符结果还是名词，如：（名词）（运算符）（名词）1+1 还是一个名词。
开始的时候等式就是句子，等号是动词，如 （主语）（动词）（宾语）（1+1） = 2
在数字逻辑中，等式是名词，等号是运算符（就像加号一样）。
正如名词1 + 1命名数字2，名词1 + 1 = 2命名值为真。 名词1 + 1 = 3将值命名为假。
这里的真和假被称为真值（truth values）或布尔值（Booleans）。真值对应着数字逻辑，而数字对应着算数。因为真值仅仅有两个取值，所以其相对简单。
1+1=2断言（assert）公式（formula）（也称为名词）1+1=2为真。常被数学家写为
|- 1+1=2
其中，|- F表示F为Theorem。（这里的 |- 见书中所示，因为无法输入所以以此符号代替）。但是很多数学家将1+1=2用来表示formula和assertion，这时就需要根据上下文来判断1+1=2真正的语义了。
很多数学家认为所有的数学表达式都是句子，将1+1读做“1加上1”，他们认为1+1=2是用来断言“1加上1得到2”，但是这样的想法常常束缚了使用数学思维思考问题的空间。如Formula
1+1/2+1/4+1/8+... = 2
这个Formula使用来断言无限多次运算后的结果。然而，如果要在无限的运算上进行推理将很困难。
（这里是啥意思呢？不是很明白）
13.3 Propositional Logic（命题逻辑）
命题逻辑主要是学习Booleans上的简单运算，就像数字的加减乘除。命题逻辑中使用到的5个运算符如下面小结。
13.3.1 ∧ 和 ∨
∧ 逻辑与 同真为真，其它为假
∨ 逻辑或 同假为假，其它为真
13.3.2 另外3个运算符
⇒ Implication，读做implies（隐含） a ⇒ b
≡ Equivalence，也写为⇔，读做is equivalent to（等价于）a ≡ b
¬ Negation， 读做 not（非）¬a
前两个是中缀操作符（binary (infix) operators），后一个是前缀操作符（unary (prefix) operator）。
（针对我个人，下面的描述有点难以理解）
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TRUE ⇒ FALSE；TRUE ⇒ TRUE; FALSE ⇒ TRUE; FALSE ⇒ FALSE
这4个Formula对应的真值情况分别是FALSE，TRUE，TRUE，TRUE
最不好理解的是FALSE ⇒ TRUE和FALSE ⇒ FALSE，尤其是FALSE ⇒ TRUE。
(1 > 5) ⇒ (1 > 3)为TRUE ？？？？
举个例子，我说一句“如果是女生（P），那么请举手（Q）”。
（1）你是女生（P=TRUE），你举手了（Q=TRUE）。我说的没错（P⇒Q为真）;
（2）你是女生（P=TRUE），你没举手（Q=FALSE）。我说错了（P⇒Q为假）;
（3）你是男生（P=FALSE），你举手了（Q=TRUE）。我说的没错（P⇒Q为真）;
（4）你是男生（P=FALSE），你没举手（Q=FALSE）。我说的没错（P⇒Q为真）;
（3）（4）中你没有理由说我说的是错的。因为我本来就没考虑男生的情况。也就是说我说这句话的时候，我已经潜意识中意识到男生可能举手或者不举手。换一种理解就是，前提不正确的情况下，你咋弄都成。（尽管我这样说服自己，但是内心仍然糊涂..................，高手请指点！！！！！！！！！！！！！！！！）
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13.4 Predicate Logic（谓词逻辑）
谓词逻辑通过扩展了两个运算符（quantifiers）对Propositional Logic（命题逻辑）进行了扩展。
∀ universal quantifier，读做for all（对于所有的）。Formula ∀ x ∈ S : P (x )本质上是关于所有x满足x ∈ S的P(x)的逻辑与（∧）连接。例如∀ i ∈ {1, 2, 3} : i*i > i相当与（1*1>1）∧（2*2>2）∧（3*3>2）
该formula的值为假。当且进当所有的x都满足P(x)为真时，该formula才为真。同样，如果我们说∀ num ∈ Nat : num + 1 > num为真，那就时assert这个formula对所有的num ∈ Nat都有num + 1 > num为真。
∃ existential quantifier，读做there exists（存在）。该运算符其实是关于∨逻辑或的连接。
这两个两次之间是有联系的，它们遵守以下两个tautologies（恒真命题，任何情况下都为真）。
¬(∀ x ∈ S : P (x )) ≡ ∃ x ∈ S : ¬P (x ) “不是所有的x ∈ S都满足P (x )为真”等价于“存在至少一个x∈ S不满足P (x )”。
¬(∃ x ∈ S : P (x )) ≡ ∀ x ∈ S : ¬P (x ) “不存在x ∈ S 满足P (x)”等价于“对于所有的x ∈ S都不满足 P (x)”。
这里的x可能情况都被限制在集合S中（即x ∈ S），这时候称∀ 和 ∃有界（bounded）。∀ x : P (x ) 和∃ x : P (x )写时称∀ 和 ∃无界（unbounded）。同样，有界和无界可以通过一下两个tautologies（恒真命题，任何情况下都为真）进行联系。
(∀ x ∈ S : P (x )) ≡ (∀ x : (x ∈ S ) ⇒ P (x ))
(∃ x ∈ S : P (x )) ≡ (∃ x : (x ∈ S ) ∧ P (x ))
下面来找错：
Foo == ∀ x ∈ S : P ∧ ∀ x ∈ T : Q 这个formula是不正确的
提示：Foo = ∀ x ∈ S : (P ∧ ∀ x ∈ T : Q)，其中==表示define，即用==右边的表示==左边的。
一个问题：
formula ∀ x ∈ S : P中，S是否可以包含符号x？提示：考虑∀ x ∈ S中x的scope。
13.5 The choose Operator
今天先到这，明天接着写。
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