几何-九种二次曲面类型

(一)椭圆锥面

(1)把z平方看成一个一直变大的常数,那么可以看出延z方向,是一个一直变大的椭圆

(2)把一个x或y赋予0,显然是一个两条关于原点对称的直线。

由上即可判断出是一个关于x-y平面对称的椭圆锥面

(二)椭球面

按x=0、y=0、z=0分别切开都是相同的椭圆,没什么好说的,椭球面

(三)单叶双曲面

(1)按z=0切开是椭圆;

(2)按x=0或y=0切开都是双曲线。

所以单叶双曲面

(四)双叶双曲面

(1)按y=0或z=0切开是双曲线;

(2)但按x=0切开是不存在的,说明没有点在y-z平面上

所以叶双曲面

(五)椭圆抛物面

(1)过原点,延z轴正方向是一个逐渐变大的椭圆

(2)切x=0或y=0都是过原点的正向抛物线

所以椭圆抛物面

(六)双曲抛物面

(1)过原点,延z轴正方向是一个双曲线

(2)切x=0,是一条延z轴负方向的抛物线

(3)切y=0,是一条延z轴正方向的抛物线

所以双曲抛物面

(七)椭圆柱面

(1)z轴随意取点(高度随意),x-y平面恒椭圆

所以椭圆柱面

(八)双曲柱面

(1)z轴随意取点(高度随意),x-y平面标准双曲线方程。

所以双曲柱面

(九)抛物柱面

(1)z轴随意取点(高度随意),x-y平面抛物线方程。

所以抛物柱面

最后给一道题目(源于CMC决赛)

三维空间的直接坐标系中,方程

表示的二次曲面类型是(      )

解答:

第一步转化:

显然,椭圆柱面。

参考文章:https://zhuanlan.zhihu.com/p/58917013

参考题目:CMC第十二届决赛填空

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