树状数组

 一、插点问线，如“士兵杀敌（二）”要向上修改，向下统计；一般是修改某个位置上的值，查找的是一段区间的和；
二、插线问点，如“士兵杀敌（四）”要向上统计，向下修改；一般是修改一段区间的值，查找的是某个位上的值；

下图中的C数组就是树状数组,a数组是原数组

 

 

 

 

 

 

可以发现这些规律

C1=a1

C2=a1+a2

C3=a3

C4=a1+a2+a3+a4

C5=a5

……

C8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

……

C2^n=a1+a2+….+a2^n

 

 

对于序列a，一个（树状）数组C定义C[i] = a[i – 2^k + 1] + … + a[i]，k为i在二进制下末尾0的个数。

以上可以看出：设节点编号为i，那么这个节点管辖的区间为2^k

 

算这个2^k有一个快捷的办法，

定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x)

{

return x & (x ^ (x – 1));

// 等价于 return x & (-x);

}

 

修改算法：例如（给某个结点i加上x）： 　　

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步； 　

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。 　

　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。 　　对于数组求和来说树状数组简直太快了!　

 具体函数如下：

void update(int i , int x)

{ 　

　while(i <= n) 　

　{

　　C[i] += x;

　　i += Lowbit(i); 　

　} 　　

}

 

 

若要求数组a的1~n项和，

可以依据如下求和算法即可：

 step1:　令sum = 0，转第二步；

 

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

 　

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

  

具体求和函数如下：

int Sum(int n)

{ int sum = 0; 　　

        while (n> 0) 　

　{ 　　sum += C[n]; 　

                  n -= Lowbit(n); 　

　} 　

　return sum; 　

}