牛顿-莱布尼茨公式

前置知识：黎曼积分的概念

牛顿-莱布尼茨公式

设$f$在$[a,b]$上可积，令

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

则

（1）$F$在$[a,b]$上连续
（2）若$f$在点$x_0\in [a,b]$处连续，则$F$在$x_0$处可导，且$F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$
（3）若$f$在$[a,b]$上连续，则$F$是$f$在$[a,b]$上的一个原函数。如果$G$是$f$的任意一个原函数，则有
$${\int }_a^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)$$

证明：
（1）因为$f$在$[a,b]$上可积，所以$f$在$[a,b]$上有界。令$M$为$|f(x)|$的最大值，任取$x_0\in [a,b]$，当$x\in [a,b]$时，有

$$|F(x)-F(x_0)|=|{\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_a^{x_0}f(t)dt|$$

$$=|{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt|\le M|{\int }_{x_0}^{x}dx|=M|x-x_0|$$

\qquad 由连续函数的定义，当$x\to x_0$时，$|x-x_0|\to 0$，$M|x-x_0|\to 0$，所以$F$在点$x_0$处连续

\qquad 因为$x_0$可以取$[a,b]$上的任何值，所以$F$在$[a,b]$上连续

（2）依题意，$x_0$是$f$的连续点，则$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，当$t\in [a,b]$且$|t-x_0|<\delta$时，都有

$$|f(t)-f(x_0)|<\epsilon$$

\qquad 于是，当$x\in [a,b]$且$|x-x_0|<\delta$时，

$$|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|=|\frac{1}{x-x_0}{\int }_{x_0}^x[f(t)-f(x_0)]dt|<|\frac{1}{x-x_0}{\int }_{x_0}^x\epsilon dt|=\epsilon$$

\qquad 由此可得

$$F^{\prime }(x_0)=\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)$$

（3）因为$f$在$[a,b]$上连续，由$(2)$得$F(x)$是$f$在$[a,b]$上的一个原函数。

\qquad 设$G$为$f$D 的任意一个原函数，则

$$[G(x)-F(x){]}^{\prime }=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$$

\qquad 所以$G(x)-F(x)=C$，由此可得$\forall x\in [a,b]$，有

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)=F(x)-F(a)=G(x)-G(a)$$

\qquad 特别地，有

$${\int }_a^{b}f(t)dt=G(b)-G(a)$$

\qquad 这个式子就是牛顿-莱布尼茨公式，这是一种用被积函数的原函数来求定积分的方法。

例题

设$f$在$[a,b]$上连续，$u(x)$和$v(x)$在$[a,b]$上可导，且$u(x)$和$v(x)$的值域包含于$[a,b]$，求下列函数的导数：

$$G(x)={\int }_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt$$

解：
\qquad 令$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，则$F^{\prime }(u)=f(u)$，所以

$$G(x)={\int }_a^{u(x)}f(t)dt-{\int }_a^{v(x)}f(t)dt=F(u(x))-F(v(x))$$

\qquad 那么

$$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))u^{\prime }(x)-F^{\prime }(v(x))v^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x)-f(v(x))v^{\prime }(x)$$