TOPSIS和熵权法的应用（Matlab实现，包括数据预处理）

TOPSIS法是一种组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
①基本过程为归一化后的原始数据矩阵；
②采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案；然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离；
③获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，依次最为评价优劣的依据。
优点：该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

原始数据：
共有n个待评价对象，每个对象有m个指标（属性），则原始矩阵构造为
$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& ...& x_{1m}\\ x_{21}& x_{22}& ...& x_{2m}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ x_{n1}& x_{n2}& ...& x_{nm}\end{array}\right]$$

步骤一：首先需要进行指标属性同向化，一般选择指标正向化：
一般有以下四种指标：
1.极大型指标：期望指标值越大越好，如盈利指标，这种指标不做处理；
2.极小型指标：期望值标值越小越好，如犯错率，这种指标可以取导数，缺陷是只适用于x>0的情况；（min_to_max函数）
$$x^{\prime }=\frac{1}{x}(x>0)$$
一般采用最大值减去最小值，这样可以防止出现负数：
$$x^{\prime }=Max(x)-x$$
3.中间型指标：期望值标值不要过大也不要过小，而是取中间值（如水质量PH值）（mid_to_max函数，这里采取方式一：）
方式一：
$$x^{\prime }=1-\frac{|x-best|}{max(|x-best|)}$$
方式二：
$$x^{\prime }=\{\begin{array}{r}2\times \frac{x-min(x)}{max(x)-min(x)},m\le x\le \frac{max(x)+min(x)}{2}\\ 2\times \frac{max(x)-x}{max(x)-min(x)},\frac{max(x)+min(x)}{2}\le x\le max(x)\end{array}$$
4.区间型指标：期望指标的取值最好落在某个区间内最好。
需要指定最优区间值的范围[a,b]，最大容忍区间是[a*,b*]：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=\{\begin{array}{r}1-\frac{a-x}{a-a\ast },x<a\\ 1,a\le x\le b\\ 1-\frac{x-b}{b\ast -b},x>b\end{array} \\ a\ast =a-min(x) \\ b\ast =max(x)-b \end{gathered}$$

步骤二：对数据进行标准化。（参考：三种常用数据标准化方法）
这里提供了两种方式，
方式一：归一化方法：
$$\begin{gathered} y_i=\frac{x_i}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i} \\ yi\in [0,1](i=1,2,...,n)且\sum _{i=1}^n{y}_i=1 \end{gathered}$$
方式二：规范化方法：
$$y_i=\frac{x_i-min(x)}{max(x)-min(x)}$$
这里稍微做了一点改进，因为x_i=min(x)时,yi=0,而后面熵权法需要取对数。这里就将yi限制在[0.002,0.996]的范围内。
$$y_i=(0.996-0.002)\times \frac{x_i-min(x)}{max(x)-min(x)}+0.002$$
方式三：向量规范化，即每一列元素都除以当前列向量的范数（使用余弦距离度量）
$$y_i=\frac{x_i}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}}$$

function y = dataProcess(x,way,ind,best)
% @brief,dataProcess数据预处理函数，进行指标同向化一般选择指标正向化
% @param,way指定归一化方式分别对应方式一二三
% @param,x待处理的数据，x为n行m列的矩阵，其中行数表示样本数n，列表表示指标数m
% @param,ind为数据的处理方式，长度为m；
% ind(i)=0，表示第i个指标是极大型指标，不需要处理
% ind(i)=1，表示第i个指标是极小型指标，采用取倒数或取相反数的方式处理
% ind(i)=2，表示第i个指标是中间型指标（期望指标值既不要太大也不要太小，适当取中间值最好）
% ind(i)=3，表示第i个指标是区间型指标（期望指标的取值最好落在某一个确定的区间最好）
% @param,best为中间型或区间型指标的最佳取值范围，大小为m*2，若无则为0
[n,m] = size(x);
if nargin == 1
    way = 1;
    ind = zeros(m,1);
    best = zeros(m,2);
elseif nargin == 2
    ind = zeros(m,1);
    best = zeros(m,2);
elseif nargin == 3
    best = zeros(m,2);
end

%% 将数据进行正向化
for i = 1:m
    if ind(i) == 1
        x(:,i) = min_to_max(x(:,i));
    elseif ind(i) == 2
        x(:,i) = mid_to_max(x(:,i),best(i,1));
    elseif ind(i) == 3
        x(:,i) = sec_to_max(x(:,i),best(i,1),best(i,2));
    end
end

%% 将数据进行标准化
if way == 1
%---------------- 方式一：一般归一化方法 ----------------
    y = x ./ repmat(sum(x),n,1);
    % 这种写法等价于
    % for i=1:n
    %     for j=1:m
    %         p(i,j)=y(i,j)/sum(y(:,j));
    %     end
    % end

%---------------- 方式二：为了避免0的出现，归一化到某一范围内 ----------------
elseif way == 2
    % 求每一行的最大值
    xMax = max(x);
    % 求每一行的最小值
    xMin = min(x);
    % 不归一化到[0,1]范围内，因为0不能求对数，这里取[0.002,0.996]
    helperMax = 0.996;
    helperMin = 0.002;
    helper = helperMax - helperMin;
    y = zeros(size(x));
    for i = 1:m
        temp = xMax(i) - xMin(i);
        y(:,i) = helper*(x(:,i)-xMin(i))/temp + helperMin;
    end

%---------------- 方式三：向量规范化，即每一列元素都除以当前列向量的范数----------------
elseif way == 3
    y = x ./ repmat(sqrt(sum(x.*x)), n, 1);   % 一般标准化
end

return;

end

function [y] = min_to_max(x)
    % 极小型指标：期望指标值越小越好（如患病率、死亡率等）
    % 可以化成y=1/x(x>0)或y=max(x)-x
    y = max(x) - x;
    return;
end

function [y] = mid_to_max(x,best)
    % 中间型指标：期望指标值既不要太大也不要太小，适当取中间值最好（如水质量评估PH值）
     M = max(abs(x-best));
     y = 1 - abs(x-best) / M;
% 也可以写成
%     Xmin = min(x);
%     Xmax = max(x);
%     Xmid = (Xmin+Xmax)/2;
%     Xdiv = Xmax - Xmin;
%     if x>=Xmin && x <= Xmid
%         y = 2*(x-Xmin)/Xdiv;
%     else 
%         y = 2*(Xmax-x)/Xdiv;
%     end
end 

function [y] = sec_to_max(x,min_n,max_n)
    % 区间型指标：期望指标的取值最好落在某一个确定的区间最好（如体温）
    % [min_n,max_n]为指标x的最佳稳定区间
    n = size(x,1);  % 行数，即为对象个数 
    M = max([min_n-min(x),max(x)-max_n]);   % 最大容忍区间
    y = zeros(n,1);     
    for i = 1: n
        if x(i) < min_n
           y(i) = 1-(min_n-x(i))/M;
        elseif x(i) > max_n
           y(i) = 1-(x(i)-max_n)/M;
        else
           y(i) = 1;
        end
    end
end

步骤二：采用熵权法处理数据。
1.因为这里已经对数据进行了标准化处理，设标准化处理后的数据为y，因此不要再处理；
2.计算各指标的熵值：（n为样本数，m为指标数）
$$e_j=-\frac{1}{ln(n)}\sum _{i=1}^n{y}_{ij}ln(y_{ij})(j=1,2,...,m)$$
3.计算信息效用值：信息效用值越大，表示该指标越重要。
$$d_j=1-e_j$$
4.计算各指标的权系数：熵权系数dj越大，代表指标代表的信息量越大，表示其对综合评价的作用越大。
$$W_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^n{d}_j}$$

function [score, weight] = entropyWeight(x)
% 使用熵权法求数据行的得分及各指标（列）的权重
% x为原始数据矩阵, 一行代表一个样本, 每列对应一个指标
% ind指示向量，指示各列正向指标还是负向指标，1表示正向指标，2表示负向指标
% score返回各行（样本）得分，weight返回各列权重

[n,m] = size(x);
% 计算每个指标的熵值
k = 1/log(n);
e = zeros(1,m);
lnx = Myln(x);
for j = 1:m
    e(j) = -k * sum(x(:,j).*lnx(:,j));
end

% 计算熵冗余度
d = ones(1,m) - e;
% 计算权值
weight = d/sum(d);
% 计算综合得分
score = 100 * weight * x';

这里进行了补充定义：（见Myln函数)
$$当y_{ij}=0时ln(y_{ij})=0$$

function lnx = Myln(x)
    % 方法一和方法二都可能会出现y=0的情况需要特别对出现0的情况进行处理
    lnx = zeros(size(x));
    lnx(x==0) = 0;
    lnx(x~=0) = log(x(x~=0));
end

步骤三：
采用TOPSIS方法：
1.首先需要对属性向量规范化，即每一列元素都除以当前列向量的范数（使用余弦距离度量），即前面所述规范化的方式三，将规范化后的矩阵即为Z。
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& ...& z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& ...& z_{2m}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ z_{n1}& z_{n2}& ...& z_{nm}\end{array}\right]$$
2.确定最优方案和最劣方案：
最优方案由每个Z中每个方案的最大值构成：
$$\begin{gathered} Z^{+}=(max\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...max\{z_{1n},z_{2n},...,z_{nm}\}) \\ =(Z_1^{+},Z_2^{+},...,Z_m^{+}) \end{gathered}$$
最劣方案由每个Z中每个方案的最小值构成：
$$\begin{gathered} Z^{-}=(min\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...min\{z_{1n},z_{2n},...,z_{nm}\}) \\ =(Z_1^{-},Z_2^{-},...,Z_m^{-}) \end{gathered}$$
3.计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度，这里的w取得即是通过熵权法计算出来的权重。
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{w}_j(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}{D}_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{w}_j(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$
4.计算各评价对象与最优方案的贴近程度Ci
$$C_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$
$$0\le C_i\le 1,C_i\to 1，表明评价对象越优。$$

function [sorted_S,index] = topsis(x,weights)
% 求解TOPSIS算法
% X={x1,x2,..,xn}，原始数据集，这里取归一化之后的数据,有m个指标；有n个样本
% weights={w1,w2,...wn}，各指标权重；
[n,m] = size(x);

%% 计算各平均对象与最优方案、最劣方案的接近程度
yMax = max(x);
yMin = min(x);

DMax = zeros(n,1);
DMin = zeros(n,1);
Score = zeros(n,1);
for i = 1:n
    for j = 1:m
        DMax(i) = DMax(i) + weights(j)*(yMax(j)-x(i,j))^2;
        DMin(i) = DMin(i) + weights(j)*(yMin(j)-x(i,j))^2;
    end
    Score(i) = DMin(i) / (DMax(i) + DMin(i));
end

%% 计算各评价对象与最优方案的贴近程度
% 其中0<=C<=1，C越接近与1，说明评价对象越优
StandScore = Score / sum(Score); 

%% 根据C的大小进行排序，得出评价结果
[sorted_S,index] = sort(StandScore ,'descend');

最后一步主函数写法：

clc;
clear;

%% 第一步：导入数据
load data_water_quality.mat

%% 第二步：熵权法计算，采用一般归一化方法
p=dataProcess(X,1,[1,2,3,1],[0,0;5,0;30,40;0,0]);
[score, weight] = entropyWeight(p);

%% 第三步：TOPSIS法计算，采用向量规范化
X = dataProcess(X,3,[1,2,3,1],[0,0;5,0;30,40;0,0]);
[sorted_S,index] = topsis(X,weight)

主要参考：
TOPSIS法(优劣解距离法)介绍及 python3 实现

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