费马小定理

费马小定理

费马小定理

定义：若$p$为素数，$gcd(a,p)=1$，则$a^{p-1}\equiv 1(modp)$。
另一个形式：$a^p\equiv a(modp)$。

费马小定理降幂：$a^m\equiv a^{m\%p}(modp)，gcd(a,p)=1$。

证明：

方法一：数学归纳法

1. 当$a=0$时，显然成立。
2. 当$a^p\equiv a(modp)$成立时：$(a+1{)}^p=a^p+C_p^1{a}^{p-1}+\cdots +C_p^{p-1}a+1$。我们发现$p|C_p^i(i=1,2,\dots ,p-1)$，那么$(a+1{)}^p\equiv a^p+1(modp)$，因为我们已知$a^p\equiv a(modp)$，所以$(a+1{)}^p\equiv a^p+1\equiv a+1(modp)$。证毕。

方法二：欧拉定理证明

其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况。

已知欧拉定理$a^{\phi (p)}\equiv 1(modp)$，当$p$是素数时，$\phi (p)=p-1$。证毕。