LeetCode 1253. Reconstruct a 2-Row Binary Matrix【贪心,数组】中等

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一,这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁,本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止;由于LeetCode还在不断地创建新题,本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中,我不仅会讲解多种解题思路及其优化,还会用多种编程语言实现题解,涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

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给你一个 2 行 n 列的二进制数组:

  • 矩阵是一个二进制矩阵,这意味着矩阵中的每个元素不是 0 就是 1
  • 第 0 行的元素之和为 upper
  • 第 1 行的元素之和为 lower
  • 第 i 列(从 0 开始编号)的元素之和为 colsum[i]colsum 是一个长度为 n 的整数数组。

你需要利用 upperlower 和 colsum 来重构这个矩阵,并以二维整数数组的形式返回它。

如果有多个不同的答案,那么任意一个都可以通过本题。

如果不存在符合要求的答案,就请返回一个空的二维数组。

示例 1:

输入:upper = 2, lower = 1, colsum = [1,1,1]
输出:[[1,1,0],[0,0,1]]
解释:[[1,0,1],[0,1,0]][[0,1,1],[1,0,0]] 也是正确答案。

示例 2:

输入:upper = 2, lower = 3, colsum = [2,2,1,1]
输出:[]

示例 3:

输入:upper = 5, lower = 5, colsum = [2,1,2,0,1,0,1,2,0,1]
输出:[[1,1,1,0,1,0,0,1,0,0],[1,0,1,0,0,0,1,1,0,1]]

提示:

  • 1 <= colsum.length <= 10^5
  • 0 <= upper, lower <= colsum.length
  • 0 <= colsum[i] <= 2

解法 贪心

我们要求得任意一个 2 2 2 n n n 列的二进制数组(其中行和列的序号从 0 0 0 开始),满足数组中的每一个元素不是 0 0 0 就是 1 1 1 ,并且第 0 0 0 行的元素和为 upper \textit{upper} upper ,第 1 1 1 行的元素和为 lower \textit{lower} lower ,第 i i i 列的元素之和为 c o l s u m [ i ] colsum[i] colsum[i] ,若不存在直接返回一个空的二维数组即可。

s u m sum sum 为数组 c o l s u m colsum colsum 的元素和, t w o two two 为数组 c o l s u m colsum colsum 2 2 2 的个数。明显 s u m ≠ u p p e r + l o w e r sum≠upper+lower sum=upper+lower 时,一定不存在满足题意的矩阵。然后当第 i i i c o l s u m [ i ] = 2 colsum[i]=2 colsum[i]=2 时,第 i i i 列的两个元素只能都为 1 1 1 。那么如果 two > min ⁡ { upper , lower } \textit{two} > \min\{\textit{upper}, \textit{lower}\} two>min{upper,lower} 时,此时同样不存在满足题意的矩阵

否则,一定可以通过下述的方案,构造一个符合题目要求的矩阵。设结果矩阵为 ans [ 2 ] [ n ] \textit{ans}[2][n] ans[2][n] 。当第 i i i c o l s u m [ i ] colsum[i] colsum[i] 等于 0 0 0 或者 2 2 2 时只有一种情况:

  • c o l s u m [ i ] = 0 colsum[i]=0 colsum[i]=0 时: a n s [ 0 ] [ i ] = a n s [ 1 ] [ i ] = 0 ans[0][i]=ans[1][i]=0 ans[0][i]=ans[1][i]=0
  • c o l s u m [ i ] = 2 colsum[i]=2 colsum[i]=2 时: ans [ 0 ] [ i ] = ans [ 1 ] [ i ] = 1 \textit{ans}[0][i] = \textit{ans}[1][i] = 1 ans[0][i]=ans[1][i]=1

所以,现在只关注 c o l s u m [ i ] = 1 colsum[i]=1 colsum[i]=1 的情况。首先将初始的 upper \textit{upper} upper lower \textit{lower} lower 减去数组 c o l s u m colsum colsum 2 2 2 的个数 t w o two two相当于先贪心地处理 c o l s u m [ i ] = 2 colsum[i]=2 colsum[i]=2 的情况),那么现在 u p p e r + l o w e r upper+lower upper+lower 为数组 c o l s u m colsum colsum 1 1 1 的个数。那么从左到右遍历 c o l s u m colsum colsum 中的每一列,若第 i i i c o l s u m [ i ] colsum[i] colsum[i] 等于 1 1 1

  • u p p e r > 0 upper>0 upper>0 ,则我们在该列的第一行放置 1 1 1 ,第二行放置 0 0 0 a n s [ 0 ] [ i ] = 1 ans[0][i]=1 ans[0][i]=1 a n s [ 1 ] [ i ] = 0 ans[1][i]=0 ans[1][i]=0 ,并且 upper \textit{upper} upper 减一。
  • 否则在该列的第一行放置 0 0 0 ,第二行放置 1 1 1 a n s [ 0 ] [ i ] = 0 ans[0][i]=0 ans[0][i]=0 ans [ 1 ] [ i ] = 1 \textit{ans}[1][i] = 1 ans[1][i]=1

当遍历完成后,就得到了符合题目要求的矩阵 a n s [ 2 ] [ n ] ans[2][n] ans[2][n]

现在给出该方案的正确性证明:从上述的构造过程可得,整个数组中除了 1 1 1 0 0 0 ,每一列中 1 1 1 的个数完全符合数组 c o l s u m colsum colsum 描述,且在第一行中我们共放置了 u p p e r upper upper 1 1 1 ,第二行共放置了 lower \textit{lower} lower 1 1 1 。因此这样构造的矩阵 a n s [ 2 ] [ n ] ans[2][n] ans[2][n] 为满足题意的二进制矩阵,正确性得证。

下面是我写的先贪心处理 2 2 2 的情况的代码:

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> reconstructMatrix(int upper, int lower, vector<int>& colsum) {
        int n = colsum.size();
        vector<vector<int>> ans(2, vector<int>(n)); 
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (colsum[j] == 2) {
                if (!upper || !lower) return {}; // 不够组成列
                ans[0][j] = ans[1][j] = 1;
                --upper, --lower;
            }
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) { 
            if (colsum[j] == 1) {
                if (!upper && !lower) return {}; // 不够组成列
                if (upper) ans[0][j] = 1, --upper;
                else ans[1][j] = 1, --lower;
            }
        } 
        if (!lower && !upper) return ans;
        return {}; // 不够组成列   
    }
};

下面是先检查 c o l s u m colsum colsum 是否有解的代码:

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> reconstructMatrix(int upper, int lower, vector<int>& colsum) {
        int n = colsum.size();
        vector<vector<int>> ans(2, vector<int>(n)); 
        int sum = 0, two = 0; // two为colsum中2的个数
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (colsum[j] == 2) ++two; 
            sum += colsum[j];
        }
        if (sum != upper + lower || min(upper, lower) < two) return {};
        upper -= two, lower -= two; // 相当于先处理2的情况
        for (int j = 0; j < n; ++j) { 
            if (colsum[j] == 2) ans[0][j] = ans[1][j] = 1;
            else if (colsum[j] == 1) { 
                if (upper) ans[0][j] = 1, --upper;
                else ans[1][j] = 1;
            }
        } 
        return ans;
    }
};

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n) ,其中 n n n 为数组 c o l s u m colsum colsum 的长度。
  • 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1) ,仅使用常量空间。返回的结果数组不计入空间开销。

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