数学建模——层次分析法

正互反矩阵:若矩阵中每个元素a(ij)>0且满足a(ij)*a(ji)=1。

层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。

一致矩阵:若正互反矩阵满足a(ij)*a(jk)=a(ik)。

一致矩阵的秩为1。

一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0。

判断矩阵越不一致时,最大特征值与n相差越大。

一致性指标CI

平均随机一致性指标RI

一致性比例CR=CI/RI

CR<0.1可以接受。

算术平均法、几何平均法、特征值法。

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算术平均法:

%% 方法1:算术平均法求权重
% 第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
Sum_A = sum(A)

[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵,所以这里的r和c相同,我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下:
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦,这一行后面不能加冒号(和Python不同),这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可

% 第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)

% 第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和,得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可(注意这里也可以用./哦)

几何平均法:

%% 方法2:几何平均法求权重
% 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似,一个用于乘,一个用于加  dim = 2 维度是行

% 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作,因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方,所以我们等价求1/n次方

% 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

特征值法:

%% 方法3:特征值法求权重
% 第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了? 需要用到find函数,它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。

% 第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为:');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。

CR:

%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

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