排队理论简介

排队理论简介

  • 1. 理论背景
  • 2. 研究的数学方法
  • 3. 拒绝型排队系统与等候型排队系统
  • 4. 拒绝型排队系统

本文参考文献为Вентцель Е. С.的《Исследование операций》。

1. 理论背景

排队理论又称大众服务理论,顾名思义指的是在有限的服务条件下服务大量人员的一种理论情景。日常生活中常见的场景如,排队的电话亭、等待理发的顾客、售票窗口、商店结账处等等。

显然,这些排队情景中都有一些共性。如:

  1. 每个排队情景必然包括若干“服务人员”,称之为服务通道。一个排队情景中可以有一个或多个服务通道。
  2. 每个排队情景中必然也包括若干申请流(或称请求流),这些请求在某个随机时刻进入该排队系统。
  3. 当前正在处理的申请会占据一定的时间,在这段时间之后,处理该申请的通道会“放空”并等待处理下一个申请。
  4. 当有多余的申请等待处理时,该申请有2种情况:要么等待被处理,形成“队列”(即排队),要么离开该服务通道。
  5. 除4中的情况外,一个服务通道还可能处于非满载状态或停工状态。

一个服务通道能够成功处理的申请数,称为通过性。而排队理论研究的正是申请流、服务通道数量、服务通道的工作能力、排队系统的工作规则、工作效率等问题。

一般地,衡量一个排队系统的效率特征可以用以下的方式:

  • 单位时间内可以处理的申请平均数量;
  • 无法被满足、使排队系统无法服务的申请所占的百分比;
  • 提交的申请能及时被处理的概率;
  • 排队等候的平均用时;
  • 等候用时的时长的分布律;
  • 申请队列中的申请平均数量;
  • 队列中申请数量的分布律;
  • 单位时间内排队系统带来的平均收入。

2. 研究的数学方法

如果排队系统中的随机过程是马尔科夫过程,那么对排队系统的数学建模将会很简单。而如果排队系统中的过程确实是马尔科夫过程,那么逐个发生的事件流必须是泊松过程,即每个单独的事件都没有相应的后果或后续动作。对于排队过程来说,即需要申请流和服务流都满足泊松过程。然而业已证明,排队系统越复杂,服务通道越多,则越可以近似于马尔科夫过程。因此,采用马尔科夫过程研究排队理论并无大碍。

在研究排队过程之前,需要知道系统中的几个基本参数。
n n n – 服务通道数量;
λ \lambda λ – 申请流的强度;
μ \mu μ – 每个服务通道的处理能力(工作产能),即每个服务通道单位时间内可处理的申请的平均数量;
形成排队的条件(若存在)。

设排队系统中的申请流和服务流都是泊松过程,且为定常的,参数不随时间变化。而每2个事件之间的时间间隔 T T T是随机变量,其分布满足如下概率分布密度函数:
f ( t ) = λ e − λ t ( t > 0 ) f(t) = \lambda {\rm e}^{-\lambda t} \quad (t > 0) f(t)=λeλt(t>0)

3. 拒绝型排队系统与等候型排队系统

排队系统分为2类:

  • 拒绝型。当所有服务通道都被占用时,新的申请会被拒绝,离开排队系统并之后不再参与进来。
  • 等候型。当所有服务通道都被占用时,新的申请加入等候队列。当某个通道处理完上一个申请变为空时,就从等候队列中转移一个申请至该通道并处理。

接下来将着重讲解拒绝型排队系统的数学模型。

4. 拒绝型排队系统

对于拒绝型排队系统来说,衡量其效率的指标称为绝对通过性,指的是单位时间内系统可以处理的申请的平均数量。与之对应的概念是相对通过性,指单位时间内被系统处理的申请的平均数,与该时间段内新增的申请数之比值

设系统中有 n n n个服务通道。根据被占用的通道的个数,将系统的状态分为如下几类:
S 0 S_0 S0 – 所有服务通道都空;
S 1 S_1 S1 – 只有一个服务通道被占用,其他通道都空;
⋯ \cdots
S k S_k Sk – 有 k k k个通道被占用,其他通道都空;
⋯ \cdots
S n S_n Sn – 所有 n n n个通道都被占用。

如下图所示是拒绝型排队系统的示意图。
排队理论简介_第1张图片
一开始系统中没有申请,所有服务通道为空,系统状态为 S 0 S_0 S0。当有一个申请加入时,占用一个服务通道,系统状态从 S 0 S_0 S0变为 S 1 S_1 S1,即 S 0 → S 1 S_0 \rightarrow S_1 S0S1,此过程的强度(或密度)为 λ \lambda λ,可以理解为单位时间内新增了 λ \lambda λ个申请。以此类推,直到所有 n n n个通道均被占用。从低占用向高占用转化的过程中,每个状态转化的强度都是 λ \lambda λ

当系统处于 S 1 S_1 S1状态,而该申请被完成时,系统将变成 S 0 S_0 S0状态,即 S 1 → S 0 S_1 \rightarrow S_0 S1S0。此过程的强度(或密度)为 μ \mu μ,可以理解为一个被占用的服务通道单位时间内可以服务 μ \mu μ个申请。值得注意的是,从高占用向低占用转化的过程的强度并非全是 μ \mu μ,如图所示, S k + 1 → S k S_{k+1} \rightarrow S_k Sk+1Sk过程的强度为 ( k + 1 ) μ \left( k+1 \right) \mu (k+1)μ

利用柯尔莫哥洛夫方程,对图中每个状态的“入量”和“出量”进行描述,可以得到每个状态的柯尔莫哥洛夫方程。如,对于某个状态 S k S_k Sk来说,其“出量”(即图中从方块 S k S_k Sk发出的箭头)有两个,分别是方块 S k S_k Sk右上的 λ \lambda λ和左下的 k μ k \mu kμ;而“入量”(即图中进入方块 S k S_k Sk的箭头)也有2个,分别是方块 S k S_k Sk左上的 λ \lambda λ和右下的 ( k + 1 ) μ (k+1) \mu (k+1)μ。那么,状态 S k S_k Sk概率可以描述为
d p k d t = − ( λ + k μ ) p k + λ p k − 1 + ( k + 1 ) μ p k + 1 \frac{ {\rm d} p_k }{ {\rm d} t } = -\left( \lambda + k \mu \right) p_k + \lambda p_{k-1} + (k+1) \mu p_{k+1} dtdpk=(λ+kμ)pk+λpk1+(k+1)μpk+1上式的含义是:

  1. 所有方块 S k S_k Sk的出量均为负项,而入量为正项;
  2. 出量有2个:1) 右上的 λ \lambda λ S k S_k Sk出发,其概率为 p k p_k pk,故该项是 − λ p k -\lambda p_k λpk;2) 左下的 k μ k \mu kμ也从 S k S_k Sk出发,其概率也是 p k p_k pk,故该项是 − k μ p k -k \mu p_k kμpk
  3. 入量有2个:1) 右下的 ( k + 1 ) μ (k+1) \mu (k+1)μ从上一个状态 S k + 1 S_{k+1} Sk+1出发,其概率对应是 p k + 1 p_{k+1} pk+1,故该项是 ( k + 1 ) μ p k + 1 (k+1) \mu p_{k+1} (k+1)μpk+1;2) 左上的 λ \lambda λ从上一个状态 S k − 1 S_{k-1} Sk1出发,其概率对应是 p k − 1 p_{k-1} pk1,故该项是 λ p k − 1 \lambda p_{k-1} λpk1
  4. 注意:从哪个方块 S i S_i Si出发,概率 p i p_i pi的下标就要和方块的下标对应!概率 p i p_i pi取决于箭头的出发地而不是指向地!

由此可以写出图中的微分方程关系:
d p 0 d t = − λ p 0 + μ p 1 d p 1 d t = − ( λ + μ ) p 1 + λ p 0 + 2 μ p 1 ⋮ d p k d t = − ( λ + k μ ) p k + λ p k − 1 + ( k + 1 ) μ p k + 1 ⋮ d p n d t = − n μ p n + λ p n − 1 (1) \begin{aligned} \frac{ {\rm d} p_0 }{ {\rm d} t } &= - \lambda p_0 + \mu p_1 \\ \frac{ {\rm d} p_1 }{ {\rm d} t } &= - \left( \lambda + \mu \right) p_1 + \lambda p_0 + 2\mu p_1 \\ \vdots \\ \frac{ {\rm d} p_k }{ {\rm d} t } &= - \left( \lambda + k\mu \right) p_k + \lambda p_{k-1} + (k+1) \mu p_{k+1} \\ \vdots \\ \frac{ {\rm d} p_n }{ {\rm d} t } &= - n\mu p_n + \lambda p_{n-1} \\ \tag{1} \end{aligned} dtdp0dtdp1dtdpkdtdpn=λp0+μp1=(λ+μ)p1+λp0+2μp1=(λ+kμ)pk+λpk1+(k+1)μpk+1=nμpn+λpn1(1)上述方程称为艾拉姆咖方程。初始条件为
p 0 ( 0 ) = 1 , p 1 ( 0 ) = p 2 ( 0 ) = ⋯ = p n ( 0 ) = 0 p_0 (0) = 1, \qquad p_1(0) = p_2(0) = \cdots = p_n(0) = 0 p0(0)=1,p1(0)=p2(0)==pn(0)=0艾拉姆咖方程往往无法手解,需要通过计算机辅助求解,得到结果 p i ( t ) p_i(t) pi(t)每种状态出现的概率

另外,在实际运用中往往还感兴趣状态的边界概率,指系统的稳态模式下的概率。这里不加推导地给出公式:
p k = λ k μ ⋅ 2 μ ⋯ k μ p 0 = ( λ / μ ) k k ! p 0 p 0 = 1 1 + λ / μ 1 ! + ( λ / μ ) 2 2 ! + ⋯ + ( λ / μ ) n n ! p_k = \frac{\lambda^k}{\mu \cdot 2\mu \cdots k\mu} p_0 = \frac{ \left( \lambda / \mu \right)^k}{k!} p_0 \\ p_0 = \frac{1}{ 1 + \frac{\lambda / \mu}{1!} + \frac{ \left( \lambda / \mu \right)^2}{2!} + \cdots + \frac{ \left( \lambda / \mu \right)^n}{n!} } pk=μ2μkμλkp0=k!(λ/μ)kp0p0=1+1!λ/μ+2!(λ/μ)2++n!(λ/μ)n1 λ / μ = ρ \lambda / \mu = \rho λ/μ=ρ称为换算强度,其物理意义是:在处理一个请求的平均时长内,到来(新增)的请求的平均数量

则上述边界概率公式可改写为
p k = ρ k k ! p 0 p_k = \frac{\rho^k}{k!} p_0 pk=k!ρkp0 p 0 = 1 1 + ρ 1 ! + ρ 2 2 ! + ⋯ + ρ n n ! (2) p_0 = \frac{1}{ 1 + \frac{\rho}{1!} + \frac{ \rho^2}{2!} + \cdots + \frac{ \rho^n}{n!} } \tag{2} p0=1+1!ρ+2!ρ2++n!ρn1(2)式(2)同样称为艾拉姆咖方程。

显然,所有通道都被占用的概率是 p n p_n pn,那么“新增申请能够被处理”的概率为
q = 1 − p n q = 1 - p_n q=1pn进而绝对通过性
A = λ q = λ ( 1 − p n ) A = \lambda q = \lambda \left(1 - p_n \right) A=λq=λ(1pn)则繁忙通道的平均个数 k ˉ \bar k kˉ可以表示为加权和:
k ˉ = 0 ⋅ p 0 + 1 ⋅ p 1 + ⋯ + n ⋅ p n \bar k = 0 \cdot p_0 + 1 \cdot p_1 + \cdots + n \cdot p_n kˉ=0p0+1p1++npn即为数学期望。
另一方面,由于绝对通过性表示单位时间内处理的申请的平均数量,而一个被占用的服务通道在单位时间内可以处理 μ \mu μ个申请,故繁忙通道的平均个数亦可表示为
k ˉ = A μ = λ ( 1 − p n ) μ = ρ ( 1 − p n ) \bar k = \frac{A}{\mu} = \frac{ \lambda \left(1 - p_n \right) }{\mu} = \rho \left( 1 - p_n\right) kˉ=μA=μλ(1pn)=ρ(1pn)

你可能感兴趣的:(优化方法,数学建模)