最短路径
一、单源点最短路径问题 ：
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。
Dijkstra算法：
基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
下一条最短路径（设其终点为vi）或者是弧（v0,vi），或者是中间经过S中的顶点而最后到达顶点vi的路径。
示例：
算法步骤：
① 令S={Vs} ，用带权的邻接矩阵表示有向图，对图中每个顶点Vi按以下原则置初值：
② 选择一个顶点Vj ，使得：dist[j]=Min{ dist[k]| Vk∈V-S }，Vj就是求得的下一条最短路径终点，将Vj 并入到S中，即S=S∪{Vj} 。
③ 对V-S中的每个顶点Vk ，修改dist[k]，方法是：
若dist[j]+Wjk<dist[k]，则修改为：dist[k]=dist[j]+Wjk ("Vk∈V-S )
④ 重复②，③，直到S=V为止。
算法实现：
void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix &P,ShortPathTable &D)
{
// 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]
// 及其带权长度D[v]。
// 若P[v][w]为TRUE，则w是从v0到v当前求得最短路径上的顶点。
// final[v]为TRUE当且仅当v∈S,即已经求得从v0到v的最短路径。
int i=0,j, v,w,min;
bool final[MAX_VERTEX_NUM];
for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
{
final[v] = FALSE;
D[v] = G.arcs[v0][v].adj;
for (w=0; w<G.vexnum; ++w)
P[v][w] = FALSE; // 设空路径
if (D[v] < INFINITY) { P[v][v0] = TRUE; P[v][v] = TRUE; }
}
D[v0] = 0; final[v0] = TRUE; // 初始化，v0顶点属于S集
//--- 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径，并加v到S集 ---
for (i=1; i<G.vexnum; ++i) // 其余G.vexnum-1个顶点
{
min = INFINITY; // 当前所知离v0顶点的最近距离
for (w=0; w<G.vexnum; ++w)
if (!final[w]) // w顶点在V-S中
if (D[w]<min) { v = w; min = D[w]; } // w顶点离v0顶点更近
final[v] = TRUE; // 离v0顶点最近的v加入S集
for (w=0; w<G.vexnum; ++w) // 更新当前最短路径及距离
if (!final[w] && (min+G.arcs[v][w].adj<D[w]))
{
// 修改D[w]和P[w], w∈V-S
D[w] = min + G.arcs[v][w];
P[w] = P[v];P[w][w] = TRUE; //P[w] = P[v]+[w]
}
}
}
二、每一对顶点之间的最短路径
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。
解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。
Floyd算法：
基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。
示例：
数据结构：
图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构
数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式：
数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。
算法实现：
void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, PathMatrix P[], DistancMatrix &D)
{
// 用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其
// 带权长度D[v][w]。若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最
// 短路径上的顶点。
int v,w,u,i;
for (v=0; v<G.vexnum; ++v) // 各对结点之间初始已知路径及距离
for (w=0; w<G.vexnum; ++w)
{
D[v][w] = G.arcs[v][w].adj;
for (u=0; u<G.vexnum; ++u) P[v][w][u] = FALSE;
if (D[v][w] < INFINITY)
{
// 从v到w有直接路径
P[v][w][v] = P[v][w][w] = TRUE;
}
}
for (u=0; u<G.vexnum; ++u)
for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
for (w=0; w<G.vexnum; ++w)
if (D[v][u]+D[u][w] < D[v][w])
{
// 从v经u到w的一条路径更短
D[v][w] = D[v][u]+D[u][w];
for (i=0; i<G.vexnum; ++i)
P[v][w][i] =(P[v][u][i] || P[u][w][i]);
}
}
......