GAMES101-计算机图形学基础 1-4

入门

课程主页：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html

计算机图形学分四块：
1、光栅化

2、几何造型

3、光线追踪

4、动画和仿真

实时计算机图形学（帧率能达到30fps），低于30则为离线。

线性代数基础

默认使用列向量 与 右手坐标系（$x\times y=z$）

向量 与 单位化

向量加法

三角形法则是一系列向量首尾相连，就能得到相加后的结果。

向量的点积

a hat(戴帽子的a)表示的是单位向量，两个单位向量点积就是夹角余弦值。

向量点积的应用

1、求投影向量 与 向量分解

2、向量的朝向 与 接近
两个向量朝向相反，点积小于0，朝向相同点积大于0，以a为参考则b朝前，c朝后。

两个向量越接近，其单位向量的点积越接近1，这个在观察镜面反射 或者 高光计算中会用。

向量叉乘

以右手螺旋定则判定右手坐标系（$x\times y=z$）
向量的叉乘也能写成矩阵形式，dual matrix（$A\ast$）

向量叉乘的应用

1、用于建立三维直角坐标系

 给定x，y轴，能计算得到z轴

2、判定左右 与 内外
$a\times b>0$，则b在a的左侧（逆时针旋转）
$b\times b<0$，则a在b的右侧（顺时针旋转）

如果ABC按逆时针排列，若P同时在向量的AB、BC、CA的左侧，则说明在三角形内部。
如果ABC按顺时针排列，则当P同时在向量的AB、BC、CA的右侧，则说明在三角形内部。

p只要同时在向量的AB、BC、CA的右侧或者左侧，都说明在内部。

做光栅化时，需要判定像素点是否位于三角形内部。如果叉积为$0$，说明点在三角形边线上，可自行设定是否属于三角形。

坐标系

可以使用单位向量u，v，w来定义坐标系，或者计算投影坐标。

矩阵数乘

矩阵乘一个数，把所有元素都乘该数即可

矩阵乘法

特殊的，列向量只是一个m×1的矩阵。
矩阵乘法在坐标变换中会经常使用。

矩阵转置

矩阵的逆

相同的矩阵作用与一个向量，其结果相同。

向量乘法的矩阵形式

叉乘的矩阵形式在 旋转变换的推导中 会用到。

矩阵变换

线性变换

凡能写成如下形式的都是线性变换，如旋转，错切，放缩等等

尺度变换

反射变换

剪切变换

旋转变换

平移变换

齐次坐标

点和向量的区别在于，平移变换作用在坐标点上，坐标点会受到影响而发生改变；但若作用到向量上，向量不会受到丝毫影响，所以点后面加的是1，而向量加的是0。

根据点和坐标的性质差别，我们可以得到如下结果：

当然，由于齐次坐标点要除以$w$，使得最后一个数为1，所以两个点相加的结果，实际上是两个点连线的中点。

仿射变换

仿射变换即：线性变换 + 平移变换 。它可以用齐次坐标变换矩阵表示，使用该矩阵进行变换时，默认对坐标先进行旋转变换，再进行平移变换

逆变换

对于正交矩阵（如旋转矩阵），矩阵的逆=其转置

变换的顺序

变换的合并

一个复杂的变换可以由一系列简单的基本变换构成。

3D的坐标变换形式

3D变换