信号与系统—傅里叶级数

      写在前面：相信很多接触傅里叶级数的人都觉得这是一个很复杂的东西，包含大量的复杂公式并且不知道它是用来干什么的。此文从傅里叶级数的最初产生过程进行介绍，产生之初必然伴也随着某种应用，更准确的说是应用促使发展出傅里叶级数来解决现实世界中存在的问题。因此本文以傅里叶级数在信号与系统中的应用为依托，来讲解傅里叶级数到底是什么，为什么要用它，用它的好处是什么，相信很多人之后会对傅里叶级数有更清晰的认识。

      本文总结参考奥本海姆《信号与系统》和西安电子科技大学《工程信号与系统》进行总结，不足之处还望批评指正。

    首先需要声明的是我们所说的把一个函数或信号表示成傅里叶级数的形式，无论是连续时间傅里叶级数还是离散时间傅里叶级数都是相对于周期函数或周期信号的。

我们最开始接触傅里叶级数应该是这种形式：

假设以2为周期的函数可以展开成三角级数的形式

这种表示称为欧拉-傅里叶公式，但这种形式不仅难记，我们也很难理解为什么要这样表示。所以我们首先解决第一个问题，即

问题1：傅里叶级数是用做干什么的，为什么要这样表示？

在信号与系统中，为了便于分析，我们经常使用的一类系统是线性时不变（LTI）系统，因为这种系统对加法和数乘运算封闭，即此类系统具有齐次性和叠加性，所以若把该系统中的一个复杂信号分解成一系列简单信号的线性组合形式，那么这些与原信号等价的简单信号的响应就可以很方便的表示出原信号的响应。但是，分解成怎么样的信号才算是简单信号呢？在研究线性时不变系统（LTI）时，这种简单信号应该 具有以下两个性质：

1. 由这些基本信号可以构成相当广泛的一类信号；
2. LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应可以很方便的表示。

至此，我们先回答第一个问题，我们把一个信号分解成傅里叶级数的形式，就是因为我们要把一个复杂信号分解成一系列的简单的基本信号，而这个基本信号，应当具备上面两个性质，而三角函数的表示方式也正好满足了上面两种性质。

到这里，肯定有人会问，为什么把信号表示成正弦、余弦信号组合的形式就是简单信号了？为了回答这个问题，重点针对性质2，我们先引出第二个问题，

问题2：什么样的信号对系统的响应十分简单？

我们首先研究这样一种信号，即复指数信号，在研究LTI系统时，复指数信号的重要性在于：一个LTI系统对复指数信号的响应仍是一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化，即

                                   (1)

这就是说，对LTI系统，输出仅是输入乘以一个常数，这种信号，我们完全可以认为它满足性质2

为了对式（1）进行说明，考虑一个单位冲激响应为 的连续时间LTI系统，对任意输入 ，可由卷积积分确定其输出，若 ，则

             (2)   

可写为 ，则式（2）可写为

           (3)

假定式（3）右边积分收敛，系统对的响应为

                                (4)

与系统单位冲激响应的关系为

              (5)

s是复数，是一个复常数（复振幅因子），其值决定于s。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能为复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。从而证明了复指数是系统的特征函数。

下面举一例说明

例1：输入和输出是一个延迟为3的LTI系统，即，若该系统的输入为复指数信号，那么与上式（4）具有相同的形式，因为是一个特征函数，有关的特征值为，该例还可以直接对式（5）进行验证，该系统的单位冲激响应是，将其代入式（5）得，所以。

至此，我们可以回答问题2，复指数信号可以满足性质2。

复指数信号作为输入信号可以方便的得出输出信号的响应，根据LTI系统对数乘和加法运算封闭，若一个信号可以表示成一系列复指数信号线性组合的形式，即复指数信号满足性质1，就,可以导出一个LTI系统响应的方便表达式。具体的说，若一个连续时间LTI系统的输入表示成复指数的线性组合，即

                (6)

那么输出一定是

     (7)

例2：仍然使用例1中的系统，输入信号改为，则输出，利用欧拉关系将展开为：，由上式（6）、（7）有=

我们在上面用复指数信号已经解决了问题2，但复指数信号的线性组合也不是三角函数的表示方式啊，其实这个问题直觉上可以通过欧拉关系找到答案，欧拉关系表示式为，下面推导傅里叶级数的过程将详细介绍这两种表示形式的关系。

正如我们一开始所说的，我们研究的信号是周期信号，现在研究第三个问题

问题3：连续时间周期信号的傅里叶级数如何表示？

如果一个信号是周期的，那么对一切，存在某个正值，有

            (8)