第九章 动态规划 part07 70. 爬楼梯 （进阶） 322. 零钱兑换 279. 完全平方数

第四十五天| 第九章 动态规划 part07 70. 爬楼梯 （进阶） 322. 零钱兑换 279. 完全平方数

一、70. 爬楼梯 （进阶）

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

• 题目介绍：

  • 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

    每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

    示例 1：

    输入：n = 2
    输出：2
    解释：有两种方法可以爬到楼顶。
    1. 1 阶 + 1 阶
    2. 2 阶
    

• 思路：

  • 之前采用DP五部曲的基本思路分析过一次

  • 但其实本题稍微进阶一点，就变成一个完全背包问题。

  • 比如题目改为：如果一次可以爬1阶、2阶、3阶或者…m阶（这里从1开始到m都是连续的正整数），这时你应该怎么求解。

    • 这里就用到了完全背包的思路，还是回到本题中：

      • 这里的物品相当于有两个，分别是1阶和2阶

      • 背包相当于最高阶楼梯n

      • 本题就转化为，我们有两个物品，有一个最大容量为n的背包，每个物品有无限个，怎么装满这个背包（装满这个背包的方法有多少种）

      • 按照完全背包的DP五部曲分析：

        • （1）确定dp数组的下标及含义：

          • dp[j]：表示的是装满容量为j的背包，共有dp[j]种方法
            

        • （2）确定递推公式：

          • dp[j] += dp[j - i];
            

        • （3）初始化dp数组：

          • dp[0] = 1;
            

        • （4）确定遍历顺序：

          • 因为这是一道求排列数的题目，所以必须先遍历背包，再遍历物品

          • for (int j = 1; j <= n; j++) {
                for (int i = 1; i <= m; i++) {
                    if (j >= i) {
                        dp[j] += dp[j-i];
                    }
                }
            }
            

• 代码：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int m = 2;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                if (j >= i) {
                    dp[j] += dp[j-i];
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

扩展题：爬楼梯

• 题目：如果一个人一步可以爬1或2或3或4或5…或M阶台阶，那么走到楼梯顶（第n阶），有多少种方法？
• 思路：多重背包
• 代码：

二、322. 零钱兑换

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change/

• 题目介绍：

  • 给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

    计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

    你可以认为每种硬币的数量是无限的。

    示例 1：

    输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
    输出：3 
    解释：11 = 5 + 5 + 1
    

• 思路：

  • 本题求解的相当于装满容量为j的背包，所需的最少的物品个数

  • DP五部曲：

    • （1）确定dp数组及下标的含义：

      • dp[j]：表示的是装满容量为j的背包，最少需要dp[j]个物品
        

    • （2）确定递推公式：

      • dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1);
        

    • （3）初始化dp数组：

      • 因为每次取的是最小值，因此需要把dp数组的每一个值初始化为Integer.MAX_VALUE

    • （4）确定循环顺序：

      • 因为这里求的既不是组合数，也不是排列数，因此先遍历哪一个都可以

      • 这里还需要注意的是：

        • 只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
        • 如果dp[j-coins[i]]是初始最大值，+1之后就会变成Integer.MIN_VALUE，那么求min之后就变成Integer.MIN_VALUE。
        • 所以要跳过这个。

      • // 先遍历物品，再遍历背包
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                if (dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
                    // 只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                    // 否则的话，Integer.MAX_VALUE + 1会变为一个很小的负数
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        

• 代码：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                // 只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                // 否则的话，Integer.MAX_VALUE + 1会变为一个很小的负数
                if (dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) return -1;
        return dp[amount];
    }
}

三、279. 完全平方数

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/

• 题目介绍：

  • 给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

    完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

    示例 1：

    输入：n = 12
    输出：3 
    解释：12 = 4 + 4 + 4
    

• 思路：

  • 本题的思路和上道题目类似，都是求装满背包的最少物品数量
  • 所以看代码就行，我最后会总结一下这两道题的异同，以及需要注意的地方

• 代码：

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, max);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

四、总结：

4.1 总结1：零钱兑换和完全平方数的异同：

• 首先，可以发现这两道题的本质是类似的，都是求装满一个容量为j的背包，所需要最小的物品数量。
• 但是，二者在循环和递推中有一点区别
  • 零钱兑换，需要判断当前物品放入背包中，如果背包容量j减去当前物品重量对应的dp数组值为Integer.MAX_VALUE，则跳过此递推公式。
  • 而完全平方数就不用判断
  • 为什么呢？
    • 是因为完全平方数的dp数组，每一个位置的值都会被覆盖掉，虽然初始化的时候均为Integer.MAX_VALUE，但是对于每一个数字，最起码都可以用数字1累加得到，因此就不会有凑不成的情况发生。
    • 但是，零钱兑换这道题就会出现凑不成的情况，如果出现这个情况，该位置的值仍为Integer.MAX_VALUE，加1之后就会变成Integer.MIN_VALUE，再求解Math.min就会出错。
    • 所以零钱兑换需要判断，完全平方数则不需要

4.2 总结2：目前背包类的题目大致可以分为以下三种及对应的变体

4.2.1 第一种：求解装满背包的最大价值

• 递推公式：

  • dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    

• 初始化：

  • 首先考虑下标为0的情况，在考虑其他下标
  • 这类问题一般都初始化为0

• 典型题目：

  • 416.分割等和子集==（01背包，判断能否装满背包最大重量的一半，能装满返回true，装不满返回false）==
  • 1049.最后一块石头的重量II**（01背包，尽可能多的装背包（背包最大重量为总重量的一半））**

4.2.2 第二种：求解装满背包的方法有多少种

• 递推公式：

  • dp[j] += dp[j - weight[i]];
    

• 初始化：

  • 一般地：

  • dp[0] = 1;
    

• 典型题目:

  • 494.目标和**（01背包）**
  • 518.零钱兑换II**（完全背包的组合） —> 先遍历物品再遍历背包**
  • 377.组合总和Ⅳ**（完全背包的排列） —> 先遍历背包再遍历物品**

4.2.3 第三种：求解装满背包的最大或最少物品个数

• 递推公式：

  • 最大：

    • dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + 1);
      

  • 最小：

    • dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + 1);
      

• 初始化：

  • 最大：

    • 全部初始化为0

  • 最小：

    • int max = Integer.MAX_VALUE;
      

    • 先全部初始化为max，再将dp[0]初始化为0。

• 典型题目：

  • 474.一和零（最大）（01背包，背包是二维的）
  • 322.零钱兑换（最小）（完全背包）
  • 279.完全平方数（最小）（完全背包）